§ 5. Уравнение
Уравнение
можно использовать при описании демпфированного вибратора, на который действует нелинейная пружина с запаздывающей реакцией. Уравнение (10.23) имеет вид (9.1), где 
все 
и
Условия 
§ 1 гл. IX удовлетворяются, если заданы значения 
и функция 
определена, интегрируема и имеет ограниченную вариацию при 
Согласно (9.6), характеристическая функция будет иметь вид
Имеются два корня характеристического уравнения: 
Согласно (9.55),
Следовательно, левая часть равенства (9.56) будет иметь вид,
Следовательно, по (9.56),
В силу (9.59), уравнениями усреднений будут
Полагая
получаем
Уравнение (10.27) можно проинтегрировать, что дает
где С — произвольная постоянная и
1°. Предположим, что 
Тогда 
Так как 
то, по (10.29), либо 
при 
либо 
когда 
возрастает (в последнем случае наша теория становится неприменимой из-за наличия больших решений). С другой стороны, 
при 
Из этого следует, что 
является неустойчивым решением уравнения (10.27). Если R имеет начальное значение, большее 
то мы встречаемся со случаем неприменимости теории для больших решений, тогда как если R имеет начальное значение, меньшее 
то R стремится к устойчивому решению 
Это означает, что 
при 
2°. Предположим, что 
Тогда и 
становятся комплексно сопряженными величинами. Излагаемая теория становится неприменимой, так как аргумент показательной функции в правой части (10.29) будет чисто мнимым. Это приводит к 
в (9.39).
3°. Предположим, что 
Тогда как 
так и 
в (10.30) будут положительными. При 
либо 
либо 
тогда как при 
Следовательно, 
являются устойчивыми решениями уравнения (10.27), 
неустойчивым решением. Из этого следует, что 
или 
в соответствии с тем, будет ли R первоначально больше или меньше, чем 
Случай, в котором R первоначально больше 
наиболее интересен и будет рассмотрен более подробно. Как замечено выше, в этом случае при 
Кроме того, по (10.28), 
так что 
при 
и постоянном 
Следовательно,
По (9.60) и (10.30), 
Условия (9.61) удовлетворяются. Согласно (9.64), решение уравнения (10.23) будет иметь вид
