§ 6. Теоремы существования и единственности в случае m >= n

Теорема 1. Пусть Допустим, что заданы, система начальных условий А § 3 и система условий (1) § 4. Тогда система уравнений (1) имеет единственную систему решений такую, что для функции интегрируемы по на отрезке I и по А на любом конечном интервале в

Допустим, что заданы условия В § 3 и условия (II) § 4. Тогда для функции ограничены для

принадлежащих любому конечному интервалу в Если заданы условия С § 3 и условия (III) § 4, то для функции имеют ограниченную вариацию по для

Если заданы условия D § 3 и условия (IV) § 4, то для функции непрерывны по на отрезке равномерно по А, принадлежащим любому конечному интервалу в

Доказательство. Определим множества как множества точек для которых Очевидно, что при этом определении множество будет множеством определенным ранее, и будет стремиться к когда стремится к

При мы можем записать

для всех для которых можно доказать существование интегралов.

Функции интегрируемы (условие А § 3) для Можно доказать по индукции, что они интегрируемы для всех Чтобы сделать это, мы предположим, что утверждение справедливо для при некотором неотрицательном целом

Пусть теперь А будет некоторой точкой из такой, что . Тогда для функции интегрируемы по на отрезке I, по на I и по А на любом конечном интервале в Следовательно, согласно (6) (см. Сакс [1], гл. III, теорема и условию (I) § 4, функция интегрируема по на отрезке и по А на любом конечном интервале в

Если положить из (21), то уравнение (5) можно записать в виде (11), где

Теперь можно применить лемму 3 и показать, что функции интегрируемы по на отрезке и по А на любом конечном интервале в Согласно (21), функции будут интегрируемы для По индукции это справедливо для всех

Остальные утверждения теоремы можно доказать аналогичной индукцией, используя лемму 1.

Теорема 2. Пусть Допустим, что задана система начальных условий F § 3 и система условий (VI) § 4. Тогда система уравнений (2) имеет единственную систему решений такую, что для функции интегрируемы на любом конечном интервале в области

Допустим, что заданы условия § 3 и условия (VII) § 4. Тогда для функции ограничены на любом конечном интервале в области .

Если заданы условия Н § 3 и условия (VIII) § 4, то для функции имеют ограниченную вариацию на любом конечном интервале в области

Если заданы условия I § 3 и условия (IX) § 4, то для функции непрерывны при

Доказательство. Теорема 2 является частным случаем теоремы 1, с тем исключением, что начальные условия слабее, чем условия к которым они соответственно сводятся. Однако легко показать, что отличия (относящиеся к ограничениям на функции в условиях излишни и могут быть выведены из других условий теоремы. Если применяется такой метод доказательства теоремы 2, то можно различные функции от х представить как функции от и А (в этом случае с помощью соотношений

где обозначает наибольшее целое число, содержащееся в Тогда I будет интервалом и

Теорема 2 может быть также доказана непосредственным повторением доказательства теоремы 1, с тем отличием, что (21) нужно заменить на

и (22) на

где Это доказательство здесь повторять не будем.