§ 5. Предварительные леммы

В этом параграфе мы докажем три леммы, которые будут использованы при доказательстве теорем в двух следующих параграфах.

Лемма 1. Пусть эвклидовы пространства, круг в комплексной z-плоскости. Пусть —аддитивная функция интервала, имеющая ограниченную вариацию. Пусть измеримые множества в соответственно. Пусть функция интегрируема по z на С, по на Н и по на и аналитична по z для Тогда функция

интегрируема по z на С и по на Н и аналитична по z для

Доказательство. Интегрируемость следует из результатов Сакса ([1], гл. III, теорема Для подходящим образом выбранного комплексного контура С внутри круга С по теореме Коши

Следовательно,

Отделяя действительную и мнимую части и применяя теорему Фубини (Сакс [1], гл. III, теорема (8.7)), мы можем изменить порядок интегрирования, что дает

Теперь мы покажем, что аналитична. Действительно,

где

Так как интегрируема, то существует постоянная такая, что для и С на С. Пусть — минимальное значение когда С пробегает контур С, и пусть длина С. Тогда, если то

Это выражение ограничено при Следовательно, при так что существует и

Аналогичные заключения справедливы и для высших производных. Из этого следует, что аналитична

Эта лемма обобщает лемму Титчмарша § 2.83).

Лемма 2. Пусть Н — измеримое множество в эвклидовом пространстве круг в комплексной z-плоскости. Пусть функция, интегрируемая по z на С и по на Н и ана-литичная по z для Тогда производные по также интегрируемы по z на С и по на Н.

Доказательство. Это непосредственно следует из леммы 1, примененной к интегралу Коши

где С — соответствующим образом выбранный контур в С, окружающий

Лемма 3. Пусть функции интегрируемы по на отрезке I и по на любом конечном интервале в Допустим, что существуют функции интегрируемые по на любом конечном интервале в Н, такие, что неравенства (10) справедливы для Тогда система уравнений

где имеет единственную систему решений интегрируемых по на интервале на Любом конечном интервале в При этом

где

и

Если функции ограничены для принадлежащих любому конечному интервалу в то это же верно для решений

Если функции имеют ограниченную вариацию по для и А, принадлежащих любому конечному интервалу в то это же верно для решений

Если функции непрерывны по для равномерно по принадлежащим любому конечному интервалу в Н, то это же верно для решений

Если функции аналитичны для то это же верно для решений

Доказательство. Для положим

предполагая, что существование интегралов в (17) может быть доказано.

Сначала докажем индукцией, что для функции интегрируемы по на отрезке и по на любом конечном интервале в На, и что

Предположим, что это верно для некоторого По теореме Сакса гл. I, теорема (11.12)), интегралы в (17) будут существовать, если заменить на По другой теореме Сакса гл. III, теорема (8.7)), функции интегрируемы по на отрезке

и по на любом конечном интервале в Из (10), (16) и (17) следует неравенство (18) для Функции интегрируемы по предположению, так что интегрируемость и справедливость (18) доказаны по индукции.

Согласно (13) и (18), частные суммы

ограничены сверху по абсолютной величине выражением, стоящим справа в (12). Поэтому ряд

сходится абсолютно и удовлетворяет неравенству (12). По теореме Сакса гл. I, теорема (12.11)), функции интегрируемы по на отрезке и по на любом конечном интервале в

Мы должны теперь показать, что функции, определенные в (20), удовлетворяют системе уравнений (11) и являются единственной системой функций, удовлетворяющей (11).

Из интегрируемости следует существование интегралов в Если подставить ряды (20) в эти интегралы, то суммирование и интегрирование можно поменять местами, так как, согласно (13) и (18), абсолютные величины частных сумм получающегося выражения будут ограничены сверху интегрируемым выражением и может быть использована теорема Сакса гл. I, теорема (12.11)). Таким образом,

Следовательно, функции определенные в (20), удовлетворяют системе (11).

Для Того чтобы показать, что единственная система функций, удовлетворяющих системе (11), допустим, что

— другая возможная система функций. Согласно (16),

Следовательно,

По индукции, используя (10) и (14), получаем

Поэтому

так что и решение (20) единственно.

Теперь предположим, что функции ограничены (или имеют ограниченную вариацию по По (10), (16) и (17), функции ограничены (или имеют ограниченную вариацию). Так как ряды (20) сходятся абсолютно, то функции также ограничены (или имеют ограниченную вариацию по

Предположим, что функции непрерывны по совокупности переменных и А. Согласно (16) и (17), функции А) непрерывны по совокупности переменных и А. В силу (18), так как ряды (20) сходятся равномерно относительно так что функции непрерывны по совокупности переменных и А.

Предположим, что функции аналитичны по Тогда, по (16), (17) и лемме 1, функции А) будут аналитичны по Так как, согласно (18), ряды (20) сходятся равномерно по то, по Титчмаршу § 2.8), функции аналитичны по