§ 6. Уравнение y'(t)+ty(t)-ey(t-e) = 0
Малер [1] встретился с функциональным уравнением
в связи с одной задачей теории чисел. Это уравнение изучал также де Брёйн [1] (стр. 329), который получил асимптотическое представление решения, справедливое для больших и.
Если мы определим и 
формулами
полагая 
а функцию 
соотношением
и подставим их в (6.28), то мы получим уравнение
приведенное в заголовке.
Величина 
постоянна. В качестве начальных условий задается производная 
интегрируемая и имеющая ограниченную вариацию на 
и значение 
в некоторой фиксированной точке 
такой, что 
Так как уравнение (6.31) имеет переменный коэффициент, то теория гл. II не применима. Однако, по теореме 2 приложения А, уравнение (6.31) имеет единственное решение 
такое, что 
интегрируема и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале в области 
причем, конечно, 
непрерывна. Из теоремы 1.4 следует, что преобразования Эйлера — Лапласа этих функций существуют и могут быть обращены. Пусть а и 
такие константы, что 
Положим
для 
Тогда
Это можно доказать, подставляя (6.32) в левую часть уравнения (6.31), интегрируя в полученном выражении один член по частям и заменяя 
на 
в другом члене.
Дифференциальное уравнение (6.34) имеет решение
для некоторого постоянного с. Согласно (1-26) и (1.31), интеграл в этом выражении должен стремиться к нулю при 
так что 
должны положить 
Тогда
где
Подставляя (6.33) в (6.36) и полагая 
получаем
Полагая 
в первом интеграле и 
во втором, будем иметь
где
Поэтому
где
11 обозначаёт целую часть х. Далее, используя (6.31) и заменяя 
во второй сумме, получаем
Из этого следует, что 
не зависит от 
Поэтому, в силу (6.35) и (6.37),
Отсюда, в силу (6.32), 
Полагая 
из (6.38) получим для 
Мы получили представление решения в замкнутой форме.
