Глава II. СИСТЕМЫ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОРАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ 1. Введение

В этой главе мы изложим общую теорию интегро-дифференциальных уравнений вида

Здесь неотрицательные целые, а положительные целые числа. постоянные. Величины удовлетворяют неравенствам

Постоянные и функции будут удовлетворять некоторым условиям, перечисляемым в § 3.

Системы уравнений вида (2.1) являются фактически обобщением систем дифференциально-разностных уравнений, которые мы рассматривали выше. Такие системы получаются, если в (2.1) положить

Другим важным частным случаем системы (2.1) является одно интегро-дифференциальное уравнение, которое получается при Опуская индексы и знак суммы, будем иметь

Когда функции обращаются в нуль, это уравнение вырождается в одно дифференциально-разностное уравнение

Уравнения (2.4), (2.5) и им подобные изучались весьма широко. В этой связи можно упомянуть работы Бохнера [1], стр. 82, Брювье 14], Кармайкла [1], Хильба [2], Хоэйзеля [1], Инглина [1], Костицына 11], Мамбриани [1], Нейфельда [1], Питта [1], [2], Шмидта [1], Шюрера [5] — [8] и Райта [1] — [7].

Если функции или тождественно равны нулю, то уравнения (2.1), (2.3) — (2.5) называются однородными. Решение однородного уравнения (2.5) может быть получено подстановкой в (2.5) экспоненциальной функции При этом z должно удовлетворять характеристическому уравнению, левая часть которого имеет вид квазиполинома. Это уравнение имеет бесконечное множество комплексных корней, так что получается бесконечное множество решений.

Следовательно, вопрос об общности решения является здесь менее ясным, чем в случае аналогичного обыкновенного дифференциального уравнения. По-видимому, наиболее общее решение однородного уравнения (2.5) представимо в виде бесконечного ряда по решениям экспоненциального типа, При этом возникает вопрос о сходимости, а также вопрос, насколько произвольную функцию можно представить в таком виде.

Прежде всего в этой главе мы найдем частные решения систем (2.1), (2.3) — (2.5) и общие решения соответствующих однородных систем. Последние будут получены в виде бесконечных рядов по экспоненциально-полиномиальным решениям. Общность этих решений будет установлена с помощью теорем существования и единственности из приложения А. Оказывается, что общее решение зависит от произвольной функции, заданной на интервале длины 8. Этот интервал будет называться начальным интервалом. Совокупность произвольных ограничений на решение на этом интервале будет называться начальными условиями.

В дальнейшем без ограничения общности за начальный интервал будет приниматься интервал Нашей целью будет получение решения для Можно говорить также и о решениях для если преобразование приводит к системе уравнений по такого же вида, как (2.1).

Общие теоремы о разложении решений для систем уравнений (2.1) и (2.4) приведены в § 4. Соответствующие теоремы для уравнений (2.2) и (2.5) можно получить из этих теорем, взяв функции равными нулю. Эти теоремы доказываются в § 5. Соответствующие

начальные условия перечисляются в § 2, а условия, которым должны удовлетворять другие величины, входящие в уравнения, перечисляются в § 3.

Теорема 2.1 применяется к уравнению (2.1) при а теорема 2.2 применяется при любых тип. Предположения теоремы 2.2 более ограничительны, а ее выводы сильнее. Теорема 2.3 применяется к уравнению (2.4) при а теорема 2.4 применяется при любых Предположения теоремы 2.4 более ограничительны, а ее выводы сильнее. Теоремы 2.3 и 2.4 являются не только частными случаями теорем 2.1 и 2.2 соответственно: их более частная природа была использована для несколько более детального исследования соответствующих разложений.

Теорема об оценке остаточного члена ряда, представляющего решение системы (2.1), и следствие из нее приведены в § 6. В них показано, как ведут себя решения системы (2.1) при