§ 5. Уравнение 2y''_k(t)-y_k+1(t)-y_k-1(t)+2ly_k(t) = w_k(t)

Это уравнение является обобщением уравнений, полученных простыми преобразованиями из уравнений, которые изучали Бейтмен [1], [4], 15], И. Бернулли [1], Борн и Карман [1], Буркхардт [1], стр. 26, Эйлер [1], Грегори [2], Хейвлок [1], Хейнс [1], Коппе [1], Лагранж [1], Ольтрамар [3], Поллачек [1] и Шредингер [1]. Это уравнение привлекало к себе большое внимание из-за его важности в некоторых ранних теориях строения материи и в некоторых более поздних теориях кристаллических решеток. Оно возникает в задаче исследования движения системы равных точечных масс, расположенных на равных расстояниях вдоль струны.

Коэффициент -постоянный. Функция интегрируема по в области I комплексной -плоскости и по для Кроме

того, аналитична по для Начальные условия состоят в том, что задана и интегрируема по в области I и по для и аналитична по для Наше уравнение можно переписать в виде

Это уравнение получается, если подставить в уравнение (1) приложения и

По теореме 3 приложения А, уравнение (7.16) имеет единственное решение которое интегрируемо по в области и по на любом конечном интервале в области — 2 и аналитично по для и — 2.

Следовательно, должны существовать преобразования Эйлера-Лапласа функций и их производных по если область интегрирования лежит в Мы можем записать

Умножив уравнение (7.16) на проинтегрируем его от до и подставим найденные выражения. Получим

Решение этого уравнения будет иметь вид

где полином Чебышева второго рода, определенный в (7.5). Согласно (7.6),

где полиномы от Мы можем обратить это выражение по теореме 1.4. Для имеем

Для обоих интегралов контуры интегрирования можно замкнуть добавлением соответственно правой или левой полуокружности бесконечно большого радиуса. Так как подинтегральные выражения внутри этих контуров аналитичны, то интегралы оказываются равными нулю. Поэтому для

В качестве частного примера рассмотрим следующий случай: пусть целые числа, так что и начальные условия имеют вид

Подставляя их в (7.19), получаем при помощи (7.5), что

Это выражение легко преобразовать в следующее:

Согласно (7.20), Решения типа (7.20) были названы Бейтменом выбирающими функциями (Бейтмен [3]) или функциями влияния (Бейтмен [4], стр. 496). Их значение состоит в том, что они, накладываясь друг на друга, могут дать решения, соответствующие совершенно произвольным начальным условиям. Так, формально функция

является решением, для которого

Асимптотическое разложение решения (7.20) для больших можно легко получить методом постоянной фазы!). Мы опустим детали,

отметив только, что фаза постоянна в конечных точках области интегрирования. Для

Если то решение (7.20) принимает вид

или, для целочисленных

по Ватсону ([1], 6.2 (4)); здесь функция Бесселя первого рода порядка от аргумента

Аналогично можно показать, что при

для целочисленных где функция Бесселя первого рода от мнимого аргумента порядка