§ 9. Как решать уравнения

Для удобства тех, кому нужно решать конкретные уравнения, мы теперь опишем в общих чертах последовательность вычислений, которой нужно придерживаться, применяя теорию настоящей главы.

Предположим, что уравнение задано в виде (9.1) и что условия § 1 выполнены. Убедившись в этом, можно придерживаться следующего плана:

1°. Найдем характеристическое уравнение (9.6). Определим положение кратных корней уравнения, приравнивая одновременно (9.6) и его производные нулю. Если уравнение имеет параметры, то установим представляющую интерес область изменения этих параметров. Для одного фиксированного множества значений параметров иужно вычислить корни характеристического уравнения. Выберем множество в соответствии с указаниями § 3.

2°. Близкие корни можно преобразовать в совпадающие, а другие можно переместить на небольшое расстояние в более удобное место (например, корни, лежащие около мнимой оси, могут быть перемещены на мнимую ось). Чтобы сделать это, допустим, что в является исходным корнем, новым корнем. Тогда для каждого корня вычислим по (9.49) величину и подставим ее в (9.50). Получим систему линейных уравнений для величин Когда мы их решим, из (9.47) мы получим систему линейных уравнений для коэффициентов. Вообще говоря, коэффициенты будут определены не все, и некоторые из них могут быть заданы произвольно.

Влияние малых изменений параметров в дифференциальном уравнении (9.43) можно легко исследовать, придавая величинам в (9.1) подходящие фиксированные значения и варьируя величины и в (9.44).

3°. Вычислим по (9.18). В частном случае, когда все корни характеристического уравнения простые, отбрасывая второй индекс получим вместо (9.18)

Функции подставим в выражение и произведем перегруппировку:

Члены разложения, для которых

объединим в первую сумму правой части (9.56). Остальные члены отнесем во вторую сумму, но во всяком случае значения не должны быть близкими, т. е.

для всех Символ О был определен в третьем параграфе.

Соотношение (9.57) еще не может быть полностью проверено в этот момент, так как К еще не было определено. Это соотношение накладывает ограничения на зависимость от второго аргумента, но выполнение этих ограничений не может быть проверено, пока К не определено. В обычном случае, когда уравнение зависит от параметров, вычисления могут быть продолжены всегда, причем (9.57), а также (9.58) будут устанавливать ограничения на область изменения параметров, для которой теория справедлива. Эта область может быть определена после нахождения

4°. Теперь можно вычислить усредненные функции решая систему дифференциальных уравнений (9.31). Если все корни характеристического уравнения простые, то можно опустить второй индекс у и (9.31) примет вид

После того, как уравнения (9.31) [или (9.59)] решены, можно определить из (9.39) значения Если не выполнены условия (9.40) или неравенство то теория неприменима.

Предположим, что существует величина К, не зависящая от такая, что для

и что К, возможно зависящее от удовлетворяет условию

В таком случае, в соответствии с (9.11) и (9.42), мы можем выбрать величину К, которая удовлетворяет (9.13) и имеет тот же порядок, что и К, по отношению к при т. е.

Тогда

и сумма в (9.41) доминирует над своим остаточным членом при Если значение К, удовлетворяющее условиям (9.60) и (9.61), нельзя выбрать, то мы встречаемся со случаем неприменимости теории для больших решений.

5°. Теперь, когда по (9.62) известен порядок величины К, можно, в соответствии с замечанием в последнем абзаце пункта 3°, определить ограничения на параметры, вытекающие из условия (9.57).

6°. Наконец, можно вычислить решения по формуле (9.41). Если все корни характеристического уравнения простые, то (9.41) приводится к виду

Из (9.63) мы знаем, что остаточные члены в правой части имеют порядок