§ 7. Уравнение y''_k(t)-y_k-1(t)+y_k(t) = w_k(t)

Это уравнение изучал Бейтмен [4].

Функция интегрируема по на действительном интервале I и по на любом конечном интервале в области Кроме того, имеет ограниченную вариацию по для Начальные условия состоят в том, что задана и интегрируема по на интервале и по для и что для некоторого значения из заданы и интегрируемы по на любом конечном интервале в области

Это уравнение получается, если мы подставим в уравнение (1) приложения А следующие значения: и

По теореме 1 приложения А, наше уравнение имеет единственное решение такое, что интегрируемы по на интервале и по на любом конечном интервале в области — 1 и имеют ограниченную вариацию по для

Поэтому преобразования Эйлера — Лапласа функций существуют, если пределы интегрирования а и лежат в Мы можем записать

Умножив наше уравнение на проинтегрируем его от до и подставим найденные выражения:

Решение этого уравнения имеет вид

Это выражение можно обратить по теореме 1.4. Для

где путь интегрирования проходит справа от начала координат. Согласно (7.30) и (7.31), можно записать в виде

Замкнем контуры интегрирования в первом и втором интеграле по добавив правую и левую полуокружность бесконечно большого радиуса. Тогда подинтегральное выражение во втором интеграле будет регулярной функцией внутри контура интегрирования, и поэтому второй интеграл равен нулю. Остается выражение

где С — контур интегрирования, охватывающий левую половину z-плоскости и проходимый против часовой стрелки, и где а заменено на

Для контура С, содержащего внутри себя точки и проходимого против часовой стрелки, и

Это легко доказать, преобразовав контур С в окружность с центром в начале координат и радиусом, большим 1, разложив по отрицательным степеням z и затем проинтегрировав почленно. Подставляя (7.33) в (7.32), получаем для и

Последний член получается из формул, приведенных в § 3.2 монографии Ватсона [1].