§ 5. Уравнение ...

Это интегро-дифференциальное уравнение эквивалентно дифференциально-разностному уравнению

в чем можно убедиться дифференцированием и интегрированием по частям.

Это интегро-дифференциальное уравнение является также обобщением дифференциально-разностного уравнения (1.18), к которому оно стремится при "Запаздывание" теперь распределено на интервале длины с квадратичной весовой функцией. Важность обобщений такого рода обусловливается тем, что многие измерительные инструменты, которые могут быть использованы для нахождения функции у, не позволяют сделать это в точно заданный момент времени, а дают значение у, усредненное на коротком интервале времени.

Предположим, что есть постоянная. Начальные условия состоят в том, что задана, интегрируема и имеет ограниченную вариацию на и задано значение в некоторой фиксированной точке лежащей в интервале

Наше уравнение имеет вид уравнения (2.4) с Так как предположения теоремы 2.3 удовлетворяются, то имеется единственное решение такое, что интегрируема и обладает ограниченной вариацией на любом конечном интервале в области непрерывна в этой области.

Согласно (2.12), характеристическое уравнение будет иметь вид

По (3.5)

D-диаграмма содержит точки В силу (3.12) и (3.13), имеются три цепи асимптотических корней вида

где принимает одно из трех значений

Согласно (2.11), когда все корни уравнения (6.23) простые, ряд, представляющий решение данного интегро-дифференциального уравнения, будет иметь вид

где

и где суммирование распространено на все корни характеристического уравнения (6.23). Ряд (6.26) сходится абсолютно и равномерно на любом конечном интервале в области 0.