§ 11. Уравнение P(d2/dt2)y_k(t) = A_k*y_k+1(t)+B_k*y_k(t)+C_k*y_k-1(t)

В этом уравнении Р — полином, принимает только целые значения. Во многих задачах, приводящих к этому уравнению, достаточно получить одну или несколько функций влияния, т. е. решений для которых

где некоторое данное фиксированное целое число и любое целое число.

В этом параграфе мы дадим обобщение метода, принадлежащего Бейтмену стр. 499), для нахождения функций влияния таких дифференциально-разностных уравнений. Мы не будем теперь касаться вопроса о единственности решения, а существование решения может быть установлено его фактическим нахождением.

Мы будем предполагать, что разностное уравнение

имеет решение обладающее свойством ортогональности

для некоторой функции ограниченной вариации и некоторых постоянных а и Тогда, если есть решение уравнения

то функция

будет функцией влияния желаемого типа при условии, что интеграл сходится равномерно по Это можно проверить непосредственной подстановкой.

В некоторых задачах представляет интерес только конечная область 0 к Н значений целого числа причем

Бейтмен ([4], стр. 500) предлагает следующий метод построения функции влияния в этом случае.

Величины заданы для Положим

Уравнение (7.48) определено для .

Пусть будет решением уравнения (7.48), таким, что

(Однако не предполагается, что выполнены какие-либо соотношения типа (7.49).] Тогда, согласно (7.48),

Вычитая одно равенство из другого и замечая, что получаем

Просуммируем эти выражения от до

Устремляя X к X, получаем

Теперь предположим, что уравнение

имеет простые корни Тогда, по (7.55) и (7.56),

где

Предположим теперь, что является решением уравнения (7.50), и напишем

Непосредственной подстановкой проверяется, что это выражение удовлетворяет нашему дифференциально-разностному уравнению и условиям (7.52). Условия (7.47) также удовлетворяются, если

где -определитель порядка Н. Чтобы установить это, применим (7.58) к (7.60), что дает

Если условие (7.61) выполнено, то эта система имеет единственное решение Так как является таким решением, то (7.47) доказано.

Может быть несколько функций влияния, так как уравнение (7.50) может иметь несколько решений Пример такого рода встретился в § 10, где в (7.42) были даны два разных решения.

Решения (7.51) и (7.60) четны по Для наложения начальных условий на нечетные производные можно использовать интегралы, содержащие и получающиеся интегрированием (7.51) и (7.60) нечетное число раз. Это было сделано при выводе формулы (7.21). Другие функции влияния могут быть применены для наложения начальных условий на четные производные Это было сделано при выводе (7.43).

В качестве примера применения первого метода рассмотрим уравнение

Здесь Уравнение (7.48) принимает вид

Это разностное уравнение удовлетворяется функциями Лагерра [см. Пинни

По Пинни ([1], (2.26)), для

где и к целые числа. Согласно и, согласно (7.51),

будет функцией влияния при целых а. Так как функции Лагерра являются полиномами, то ясно, что интеграл сходится равномерно по

Решение вида (7.60) с функциями определенными в (7.63), также может быть легко построено.