§ 7. Теоремы существования и единственности для произвольных m и n

При итерационный процесс, использованный для доказательства существования решений уравнения (1) для уже непригоден при данных условиях. Причина этого состоит в том, что, зная решение уравнения (5), полученное по лемме 3, мы еще не можем утверждать, что все производные от встречающиеся в (6), существуют и интегрируемы. Для этого нужны более сильные условия. Теоремы этого параграфа справедливы как для так и для Условия этих теорем могут быть ослаблены, но эти теоремы удобны и достаточны для наших целей.

Теорема 3. Пусть заданы начальные условия Е § 3 и выполнены условия (V) § 4. Тогда система уравнений (1) имеет единственную систему решений которая интегрируема по на и по на любом конечном интервале в и которая аналитична по для

Доказательство. По условию Е § 3, заключение теоремы справедливо для Предположим, что оно справедливо для при некотором неотрицательном целом Допустим теперь, что Тогда для По лемме 2 и условию (V) § 4, подинтегральные выражения в интегралах формулы (6) будут аналитичны интегрируемы по . По лемме 1, условию (V) § 4 и формуле (6), функции и функции определенные в (22), аналитичны по для По лемме 3, функции аналитичны по для Используя (21) при и лемму 1, убедимся, что теорема справедлива для По индукции она будет справедлива для

Теорема 4. Предположим, что

1) заданы начальные условия § 3 и выполнены условия (X) § 4,

2) определенные условиями § 3 и (X) § 4 функции связаны соотношением

для х, лежащих на интервале

Тогда система уравнений (2) имеет единственную систему решений аналитичных по х в области

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 3, подобно тому как доказательство теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1.