Глава I. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

§ 1. Введение

Когда мы встречаемся с уравнением, казалось бы, прежде всего нам следует его решить. Однако что значит решить уравнение? Это не всегда означает, что следует найти решение в явном виде, так как часто или это вообще невозможно, или решение получается в виде, непригодном для использования. Более полезные результаты иногда получаются другими путями. В более широком смысле "решить" уравнение — это значит получить некоторую информацию о величине, удовлетворяющей уравнению. Решение считается полным, если информация адекватна рассматриваемой задаче. Явные решения обычно принадлежат к этой категории просто потому, что явная форма содержит информацию в знакомом и обычно удобном виде.

Если мы попытаемся решать дифференциально-разностные уравнения упомянутых в предисловии типов, то мы обнаружим бесконечно много независимых решений, каждое из которых может быть умножено на произвольную константу. Ясно, что мы можем при желании накладывать на решение дополнительные ограничения, называемые начальными условиями. Действительно, такие условия возникают в большинстве физических задач. Однако мы не можем, задавать их совершенно произвольно, так как при этих условиях уравнение должно оставаться разрешимым. Если мы наложим слишком мало ограничений, то решений будет много. Если же мы наложим слишком много ограничений, то решений не будет вовсе. В приложении А даются теоремы существования и единственности, в которых приводятся совокупности начальных условий, в точности достаточные для того, чтобы решения были определены, и при этом обеспечивающие существование решений. Это дает нам значительную информацию о решениях. Теоремы существования различных видов были доказаны Кармайклом [1], Чинквини [1], Дантинн [1], [2], Хильбом [1] — [4], Идзуми [1], Леонтьевым [1], Мышкисом [3], Питтом [1], [2], Шмидтом [1] и Райтом [1], [2], [6], [7].

Обычно требуется иметь ббльшую информацию о решениях. В этой, главе будут даны некоторые методы более полного решения уравнений. Задача преобразуется к одной из более знакомых форм. Наибольший интерес представляет решение в виде ряда, приведенное

в гл. II, которое получается применением преобразования Эйлера — Лапласа.

Впервые дифференциально-разностные уравнения начал изучать, по-видимому, И. Бернулли [1]. Он рассматривал задачу о невесомой натянутой струне конечной длины, вдоль которой распределены равные и равноудаленные массы. Это привело к уравнению, приведенному в начале предисловия. Метод Бернулли едва ли был бы признан методом решения на сегодняшний день. Жестко ограничивая начальные условия, он по аналогии с ранее известными механическими задачами смог получить некоторые частные решения.

Уравнение, рассмотренное Бернулли, встретилось при разработке теории звука и поэтому привлекло внимание других математиков XVIII столетия (прекрасный обзор имеется у Буркхардта [1], гл. ). Метод, который они использовали и постепенно совершенствовали, назван Бейтменом "методом простых решений". Он заключается в подстановке экспоненциальных функций в дифференциальноразностные уравнения и определения показателей из получающихся алгебраических уравнений ("характеристических уравнений") так же, как в случае обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Этот метод многократно использовался в работах XVIII и начала XIX столетия и все еще появляется в некоторых эвристических исследованиях в технической литературе.

Было сделано несколько попыток решать дифференциальноразностные уравнения приближенно, разлагая члены вида в ряды Тейлора по с коэффициентами и оставляя только конечное число членов (Бейтмен [5], стр. 619, редакционная статья в журнале "Инженер [1], Ланг [1], Минорский [1]). Этот порочен, и им никогда не следует пользоваться, потому что членами с высшими производными, как бы ни были малы коэффициенты при них, нельзя пренебрегать при решении дифференциальных уравнений. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим уравнение

где положительно и очень мало. Пренебрегая членом, содержащим вторую производную, получаем решение в виде Сохраняя вторую производную, получаем решение Второе решение быстро стремится к бесконечности при

Параграфы 2 и 3 разделены на пункты, в которых излагаются конкретные методы решения дифференциально-разностных уравнений. Этим пунктам предпосылаются некоторые довольно общие замечания,

которые читатель может опустить, если его интересуют лишь конкретные методы, излагаемые в этих пунктах.

Во избежание недоразумений заметим, что примеры, использованные для иллюстрации методов, рассматриваются только формально, хотя недостатки строгости отмечаются. Изложение в гл. II дает образец более строгого подхода.