§ 4. Уравнение y'(t)+by(t-1) = ey^3(t-1)

При исследовании циклов в судостроительной промышленности Тинберген [1] изучал специальный случай дифференциально-разностного уравнения

В его работе у представляло отклонение наличного тоннажа от некоторого среднего значения. Тинберген предполагал, что время постройки судна постоянно (здесь оно принято за единицу

времени) и что превышение темпа закладки новых судов над средним теоретическим темпом закладки пропорционально отклонению у. В его работе

Уравнению (10.11) можно дать аналогичную интерпретацию, за исключением того, что в этом случае превышение темпа закладки новых судов над средним теоретическим темпом закладки пропорционально нелинейной функции Мы ограничимся случаем В этом случае можно сказать, что, когда отклонение возрастает, судостроители должны реагировать относительно более консервативно из-за недостатка материалов и рабочей силы и т. п. Это выглядит несколько более естественно, чем допущение Тинбергена.

Уравнение (10.11) имеет форму (9.1) с Условия § 1 гл. IX удовлетворяются, если задано значение задана, интегрируема и имеет ограниченную вариацию при

Согласно (9.6), характеристическая функция имеет вид

Она была изучена в § 6 гл. Все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда Для значений не лежащих вблизи этого интервала, можно ожидать, что наша теория окажется неприменимой из-за больших решений. Простое применение (которое здесь будет опущено) теории гл. IX показывает, что для лежащих внутри интервала, но не вблизи его конечных точек (например, лежит вблизи решение (10.11) быстро стремится к при Таким образом, наибольший интерес представляют решения для положительных (в соответствии с допущением Тинбергена) и близких к 0, и для близких к

Случай 1: В этом случае имеется действительный корень характеристического уравнения Все другие корни характеристического уравнения имеют большие по абсолютной величине отрицательные действительные части. По-видимому, удобно взять множество состоящим из одного корня

По (9.55), Следовательно, левая часть (9.51) имеет вид и, по (9.55), имеем

предполагая, согласно (9.11) и (9.57), что

Согласно (9.59), уравнение усреднений имеет вид

Интегрируя, получаем

По (9.39), По (9.60), К может быть выбрано равным при Условия (9.61) удовлетворяются, если Тогда мы можем взять Согласно (10.13), должно быть Согласно (10.14), при Следовательно, по (9.64), когда при

Случай 2: При характеристическая функция (10.12) имеет два сопряженных мнимых корня Для близких к будут иметься два комплексно сопряженных корня вблизи Обозначим их 2 и используем теорию § 8 гл. IX. Все остальные корни имеют отрицательные действительные части, которые не малы, так что множество может быть выбрано состоящим только из этих двух корней.

Уравнение (10.11) можно рассматривать как частный случай уравнения (9.43), а характеристическое уравнение как соответствующий частный случай уравнения (9.46). Тогда в соответствии с (9.46) мы можем взять

Функция будет иметь нули как и было желательно.

Так как левая часть формулы (9.51) будет иметь вид

Следовательно, по (9.51),

Согласно (9.53),

По (9.59), уравнения усреднений будут иметь вид

Положив

получим

Уравнение (10.18) имеет решение

с постоянным С. Деля (10.19) на (10.18) и интегрируя, получаем

где постоянная. Следовательно, по (10.17),

Сначала предположим, что Тогда, по (9.39), Согласно (9.60), при Условия (9.61) удовлетворяются, если при По (10.20), при Следовательно, по (9.64), когда при

Теперь предположим, что По (9.39), Согласно (9.60), (10.20) и (10.21), Условия (9.61) удовлетворяются, если при По (9.64), решение (10.11) может, быть записано в виде

где R дается формулой (10.20).

Из этого следует, что в интервале решение уравнения (10.11) ведет себя так же, как решение линейного уравнения и стремится к нулю при возрастании Однако для немного больших, чем возникают качественные различия. В линейном случае решение стремится к бесконечности, тогда как в нашем случае устанавливаются колебания конечной амплитуды, описываемые формулой (10.22). Амплитуда приближается к

и частота приближается к цикла за единицу времени. Это означает, что в судостроительном производстве происходят колебания, период которых в четыре раза больше принятого времени постройки судна.