§ 6. Усредненные функции

Решения уравнений (9.31) называются усредненными функциями. При определенных условиях они аппроксимируют функции Этот вопрос будет исследован в настоящем параграфе.

Положим и определим действительные функции соотношениями

Подставляя эти выражения в уравнения (9.30) и (9.31), мы получим уравнения вида

где обозначают матрицы из величин соответственно.

Решения системы уравнений (9.33) могут быть представлены интегральными кривыми в многомерном пространстве Н, в котором координатами являются для всех пар индексов Величины можно принять за полярные координаты на двумерной плоскости. Отдельные интегральные кривые системы (9.33) будут называться R-траекториями в Н. Отдельные интегральные кривые системы (9.34) также могут быть построены в Н и будут называться -траекториями. Мы будем рассматривать проекции этих траекторий на -плоскости и -цилиндры. -плоскость — это двумерная плоскость, на которой является абсциссой и ординатой. -цилиндр—эго двумерный круговой цилиндр, в котором является осевым расстоянием и -азимутальным углом. На -плоскости наклон будет определяться обычным способом, а на -цилиндре мы определим наклон как отношение перемещения по к перемещению по

А-траектории будут пересекать R-траектории. Рассмотрим точку Р на А-траектории. Некоторая -траектория будет также проходить через эту точку. Предположим, что эти две траектории спроектированы на все -плоскости и -цилиндры по прямым линиям, ортогональным к этим поверхностям. Тогда, согласно (9.33) и (9.34), наклоны двух таких проекций на каждой плоскости или цилиндре будут отличаться друг от друга на величину порядка Следовательно, мы получим границы для возможного положения -траектории, если на каждой -плоскости и каждом -цилиндре проведем две кривые, начиная от проекции начальной точки на А-траектории, которые будут пересекать проекции -траекторий и иметь наклон, на больший и на меньший, чем наклон проекции -траектории в точке пересечения, причем Эти кривые показаны пунктиром на фиг. 34, где изображена типичная -плоскость проекций. Сплошные линии — это проекции -траекторий. Проекция А-траектории будет лежать между

пунктирными линиями. Если R-траектории при возрастании сближаются, то эти граничные кривые могут оставаться близкими между собой, и положение А-траектории будет определено в пределах погрешности, равной расстоянию между граничными кривыми. Общий случай рассматривается в лемме 9.1, приведенной ниже.

R-траектория, для которой называется главной R-траекторией. Ее проекции на -плоскость и -цилиндр будут обозначаться соответственно.

Фиг. 34.

Лемма 9.1. Пусть обозначают разности ординат и азимутальных углов на R-плоскости и -цилиндре соответственно между проекцией главной R-траектория и проекцией близкой к ней R-траектории. Предположим, что

где

Тогда для О

Доказательство. Дадим доказательство только для первой формулы (9.37), доказательство второй аналогично.

На фиг. представляет проекцию главной R-траектории, а другие сплошные линии—проекции соседних -траекторий. Пунктирные линии это определенные выше граничные кривые для А-траектории, начинающейся в точке

Рассмотрим верхнюю пунктирную кривую на фиг. 35.

Фиг. 35.

Мы хотим найти максимальное возможное отклонение этой кривой вверх от и, следовательно, будем интересоваться только случаем, в котором она не стремится к т. е. когда Из (9.35) имеем

где обозначает наклон проекции R-траектории в точке пересечения с граничной кривой. Для рассматриваемой кривой, по (9.35), и, таким образом, по (9.36), , Согласно (9.33) и (9.34), Наконец, как отмечено выше, Следовательно, положительная величина ограничена сверху величиной порядка О Однако и тем самым (9.37) доказано. Доказательство для нижней граничной кривой аналогично.