§ 3. Характеристическое уравнение

Согласно (9.6), характеристическое уравнение, соответствующее (11.1), будет иметь вид

По теории § 3 гл. III, асимптотические корни уравнения (11.6) даются формулой

где - положительное целое число.

-плато могут быть изучены с помощью теории § 9 гл. Согласно (3.64) и (11.6), границы -плато удовлетворяют уравнениям

Поэтому уравнения границ -плато имеют вид

где у и (в можно рассматривать как параметры. Граница плато — это поверхность в пространстве из. Ее поперечные сечения плоскостями нетрудно начертить. Чертежи такого рода для даны на фиг. 37—45.

Числа на кривых — это значения у в рассматриваемой точке. На концах кривых эти числа указывают предельное значение у, когда точка стремится к бесконечности. На фиг. 41 и 45 прямые соответственно отвечают значению Эти исключительные графики построены для критических значений при которых качественная картина расположения кривых резко изменяется. Критическими значениями являются

Линии, начерченные на фиг. 37—45, — это поперечные сечения границ -плато для постоянных Ограниченные ими поперечные сечения плато отмечены на этих фигурах соответствующими значениями к.

Для больших границы плато асимптотически приближаются к плоскостям Плато становятся узкими. Это означает, что неасимптотические корни, соответствующие этой области в пространстве параметров имеют совсем близкие друг к другу действительные части.

Вся положительная часть -оси лежит в -плато. Более того, бесконечный сектор с углом 90°, определяемый неравенствами

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

включается в -плато. -плато ограничено сферой бесконечно большого радиуса и поверхностью , которая асимптотически приближается к плоскостям этого сектора, как показано на фиг. 37—45.

Мы будем интересоваться главным образом значениями параметров которые соответствуют точкам, лежащим вблизи .

Фиг. 45.

Более того, мы ограничимся рассмотрением небольших значений На поверхности точки в которых встречаются одновременно и -плато, являются критическими. В любом другом месте на смежными будут только -плато. Если точка в пространстве параметров лежит на поверхности , то корни характеристического уравнения, имеющие наибольшие действительные части, будут чисто мнимыми.

Если точка обыкновенная, то имеются два таких корня, но их становится четыре, когда точка является критической точкой

Мы будем исследовать уравнение (11.1) только при лежащих в пространстве параметров вблизи 2. Если точка не близка к Е и лежит с положительной стороны по направлению оси от этой поверхности, то решение (11.1) быстро стремится к нулю при . С другой стороны, если не близка к Е и лежит с отрицательной стороны по направлению оси от нее, то теория становится неприменимой из-за больших решений.

В § 4 мы рассмотрим некритический случай, т. е. случай, когда лежит вблизи от 2, но не рядом с критической точкой . В § 5 мы рассмотрим критический случай, когда лежит вблизи критической точки