§ 2. Асимптотические корни характеристического уравнения (3.4)

В дополнение к конечному числу корней вблизи начала координат характеристическое уравнение, изучаемое в этой главе, будет иметь "цепи" более или менее равномерно расположенных корней, стремящихся к бесконечности. Отдаленные корни называются асимптотическими корнями. Расположение этих корней практически определяется только несколькими членами характеристического уравнения, так что их можно определять приближенно.

В этом параграфе мы будем изучать специально уравнение (3.4). Результаты, которые мы получим, будут полезны сами по себе и в то же время явятся основой для изучения более общего уравнения (3.1). Условия, которым должны удовлетворять величины, входящие в (3.4), перечислены в том абзаце § 1, который содержит уравнение (3.4).

По (3.4) и лемме 2 приложения В, при

где Каждый член в этом выражении имеет

Его абсолютная величина имеет вид

Это монотонно возрастающая функция от

Теперь возьмем две точки в прямоугольной системе координат (фиг. 1). Опустим перпендикуляр из точки Р на прямую и продолжим его до пересечения с вертикальной осью в точке Из геометрических соображений следует, что

где есть угол между положительным направлением горизонтальной оси и прямой как показано на фиг. 1; является функцией от

Из (3.7) следует, что

где угол зависит от z указанным на фиг. 1 образом. Отсюда ясно, что функция является мерой величины каждого члена в (3.5) вида (3.6). Эта величина меняется вместе с углом одного угла доминирующим в (3.5) может быть один член, для другого угла другой.

Фиг. 1.

Все это можно очень просто исследовать графически. Возьмем для каждого члена в (3.5) вида (3.6) соответствующую точку на плоскости

Получающееся множество точек будет называться -множеством. Из этих точек для каждого угла проведем прямые под углом к положительному направлению горизонтальной оси до пересечения с вертикальной осью, как показано на фиг. 2. Очевидно, что точке D-множества, для которой соответствующая точка пересечения с вертикальной осью лежит выше других, соответствует доминирующий член в (3.5).

Ясно, что только те точки D-множества, которые лежат на его выпуклой оболочке (фиг. 3), могут соответствовать доминирующим членам. D-множество лежит полностью в первом квадранте, и для нас важны только те значения которые лежат в интервале

Диаграммы типа приведенных на фиг. 2 и 3 будут называться -диаграммами.

Выпуклая обрлочка D-множества (фиг. 3), представляющая для нас особый интерес, является незамкнутым многоугольником,

обращенным выпуклостью в сторону, противоположную началу координат. Пусть обозначают углы наклона последовательных сегментов этого многоугольника, где

Обозначим эти сегменты соответственно На каждом -сегменте“ имеется не меньше двух элементов D-множества. Концы -сегментов будут называться "угловыми точками". Правый конец сегмента будет называться угловой точкой".

Фиг. 2.

Фиг. 3.

Точка будет конечной угловой точкой и будет иметь номер, следующий за номером точки на правом конце -сегмента, проходящего через точку

Если , то все члены в (3.5), соответствующие точкам D-множества, лежащим на сегменте будут доминирующими при Для не "близких" ни к одному из углов в "этом смысле, единственный член в (3.5), соответствующий одной из угловых точек, будет доминирующим. Он не равен нулю, так что асимптотических корней на плоскости в области, соответствующей такому значению быть не может.

Таким образом, мы должны искать асимптотические корни, когда и когда все члены, соответствующие точкам на будут доминирующими. Отношение членов в (3.5), соответствующих точкам D-множества, не лежащим на к членам, соответствующим точкам, лежащим на имеет порядок при [Более точное определение применимое в общем случае, будет дано ниже, в Тогда (3.5) можно записать в виде

где суммирование производится по членам, соответствующим точкам на

Пусть обозначает точку пересечения прямой с осью Тогда для всех точек на прямой при

Поэтому

Пусть теперь какой-нибудь ненулевой корень уравнения

Это алгебраическое уравнение, и оно может быть решено какими-нибудь известными методами. По (3.11), асимптотические корнй должны удовлетворять уравнению

Для это дает

где большое целое положительное число, а при

Когда увеличивается, (3.13) описывает двойную цепь корней характеристического уравнения. Для каждого ненулевого корня уравнения (3.12) существует одна такая двойная цепь, а для каждого сегмента одно уравнение (3.12).

Случай был исключен и требует отдельного исследования 3). Когда все величины в (3.10) равны, так что член может быть вынесен за знак суммы. Затем рассуждение подобное проведенному выше, показывает, что, когда

где большое целое положительное число, при и где какой-нибудь ненулевой корень уравнения

Погрешность в (3.13) и (3.14) может быть определена более точно, если ни одна из точек сегмента на D-диаграмме не соответствует членам, содержащим функцию в (3.5), или если целое число определенное в четвертом абзаце § 1, не меньше 2. Тогда отношение членов, соответствующих точкам, не лежащим на к членам, соответствующим точкам, лежащим на есть когда где расстояние, измеренное по вертикали (параллельно оси от (продолженного в случае необходимости) до ближайшей точки D-множества, которая лежит на При этом

Если то наивысшая точка в D-множестве лежит на мнимой оси и все углы меньше Из (3.13) следует, что при возрастании действительные части корней характеристического уравнения принимают все большие по абсолютной величине отрицательные значения, так что для любого наперед заданного числа существует не более конечного числа корней характеристического уравнения, действительные части которых превосходят это число.

Если то наибольший угол равен и по (3.14) будут существовать цепи асимптотических корней, действительные части которых асимптотически приближаются к константам.

Если то наибольший угол больше По (3.13), будет существовать по крайней мере одна цепь корней характеристического уравнения, действительные части которых неограниченно увеличиваются при возрастании

Для любой точки отстоящей от асимптотических корней на расстоянии порядка единицы, функция будет иметь порядок доминирующего члена в (3.5). Это. соответствует наиболее высокой проекции на вертикальную ось на фиг. 2. Так как ( есть наивысшая точка D-множества на вертикальной оси, то эта проекция всегда не меньше Согласно (3.5), (3.8) и (3.9), при

Иллюстрация к теории этого параграфа дается в § 4.