§ 4. Сечения (0, k)-плато при b != 0

Пространство параметров уравнения (5.3) четырехмерно и поэтому не может быть изображено на чертеже. Даже трехмерные чертежи приносят весьма мало пользы. По-видимому, лучше всего "исследовать" это пространство, построив некоторое число сечений двумерными -плоскостями, каждое из которых соответствует каким-то выбранным значениям Естественно, такое исследование не может быть исчерпывающим, и для отдельных приложений могут потребоваться уточнения. Поэтому мы дадим здесь лишь несколько сечений, но опишем методику вычислений, чтобы облегчить построение дополнительных сечений, если это окажется необходимым.

Прежде всего уравнение (5.8) должно быть записано в виде

Должны быть построены графики зависимости от у обеих частей этого уравнения. Каждый из них будет представлять собой однопараметрическое семейство кривых, которые без труда вычисляются для достаточно большого числа значений параметров. Кривая одного семейства пересекается с кривой другого семейства в счетном числе точек. Каждое из соответствующих точкам пересечения значений у, будучи подставленным в уравнение (5.9), дает уравнение прямой линии на -плоскости. Эти прямые вместе с прямой являются границами сечений плато -плоскостями.

Этот графический метод полезен для определения корней уравнения (5.8) в окрестности точки Для очень больших корней, для которых можно получить асимптотическое представление корней. В этом случае, в силу (5.15), где мало. Разлагая по степеням подставляя разложение в уравнение (5.15) и приравнивая коэффициенты, получаем

С другой стороны, когда очень велик, могут быть получены приближенные значения для малых корней. Из (5.15) следует, что

эти корни равны приблизительно кратным числа Положив

подставив это выражение в (5.15) и приравняв коэффициенты, получим

Полученные таким образом -сечения показаны на фиг. 26—32. Горизонтальный и вертикальный масштабы с ценой деления 4 и 0,1 соответственно нанесень на отрезках, примыкающих к началу координат. Они одинаковы всех фигурах, но цифры вертикального масштаба на фиг. 27 опущены, чтобы не затемнять чертежа.

Фиг. 26.

Как отмечено, горизонтальный масштаб уменьшен в отношении За исключением масштабов, сплошные прямые обозначают границы сечений плато. На сечениях плато нанесены соответствующие значения

Все приведенные сечения построены для Было построено значительно большее число сечений для изменяющегося от до оказалось, что форма сечения весьма мало чувствительна к изменению в этой области.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)