§ 10. Уравнение y(iv)_k(t)+y''(t)-0.5l[y_k+1(t)-2y_k(t)+y_k-1(t)] = w_k(t)

Это уравнение изучалось Бейтменом [4] в связи с теорией кристаллических решеток, разработанной Борном и Карманом [1]. Он предполагал, что А целое, и брал начальные условия в виде

Коэффициент X — постоянное число, не равное нулю. Функция интегрируема по в области I комплексной -плоскости и по А для и аналитична по для и —1. Начальные условия состоят в том, что задана и интегрируема по в области I и по А для и аналитична по для Наше уравнение можно переписать в виде

Это уравнение получается из уравнения (1) приложения А при и остальных равных нулю. Кроме того,

По теореме 3 приложения А, уравнение (7.38) имеет единственное решение которое интегрируемо по в области и по А

на любом конечном интервале в области и аналитично по для

Следовательно, должны существовать преобразования Эйлера — Лапласа функций и их производных по если область интегрирования лежит в Мы можем написать

Умножив уравнение (7.38) на проинтегрируем его от до и подставим найденные значения:

Решение этого разностного уравнения будет иметь вид

где полином Чебышева второго рода, определенный в (7.5). Согласно (7.6),

где полиномы от Мы можем обратить это выражение по теореме 1.4. Из (7.39) для и 0 имеем

В обоих интегралах контуры интегрирования можно сделать замкнутыми, добавив соответственно правую или левую полуокружность бесконечно большого радиуса. Так как подынтегральные выражения внутри этих контуров аналитичны, то интегралы оказываются равными нулю. Поэтому для

Теперь рассмотрим частный случай, когда целые, так что и начальные условия имеют вид

где

Подставляя эти выражения в (7.41), получаем, в силу (7.5),

так что

для Легко видеть, что это выражение удовлетворяет начальным условиям (7.37).

Асимптотическое разложение решения (7.43), справедливое для больших может быть получено методом постоянной фазы. Выражение имеет постоянную фазу, когда или имеет постоянную фазу, когда если Если то постоянной фазы при нет. Опуская детали вычисления, приводим результат:

когда и

когда Здесь