§ 6.8. Интеграл типа Коши

Выражение

,

где  - аналитическая функция на замкнутой области , ограниченной положительно ориентированным контуром , называется интегралом Коши.

Если  лежит внутри , то интеграл равен , если же  лежит вне ,то  - аналитическая функция на  и, следовательно, интеграл Коши равен нулю.

Пусть теперь  - любая кусочно-гладкая ориентированная кривая, не обязательно замкнутая, и  - непрерывная функция, определенная вдоль . Выражение

                                 (1)

называется интегралом типа Коши. Оно представляет собой функцию , определенную вне .

Теорема 1. Интеграл (1) типа Коши есть аналитическая функция  для всех .

Производная порядка  от  вычисляется по формуле

                (2)

Доказательство. Пусть  есть произвольный круг, не имеющий общих точек с кривой . Функция двух комплексных переменных  и

непрерывна на множестве  и имеет на нем непрерывную частную производную

(надо учесть, что так как круг  не пересекается с , то при любых  и  разность ). Это показывает, что дифференцирование  по параметру  законно произвести под знаком интеграла в (1):

.

При этом производная  непрерывна вне  (см. § 2.4, теорема 4, которая легко обобщается на случай интеграла от комплексного переменного). Но тогда  аналитична вне .

Мы доказали формулу (2) в случае . Для рассуждения ведутся по индукции.

Следствие. Если функция  аналитическая в области , т. е. имеет непрерывную первую производную на , то она имеет производные всех порядков.

Доказательство. Пусть  - любая точка  и  - круг с центром в , целиком лежащий в области , а  - окружность - граница , ориентированная против часовой стрелки. Тогда по формуле Коши

т. е. функция  изображается интегралом типа Коши при  и . Значит, в силу теоремы 1  бесконечно дифференцируема и

.                (3)