Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 6.8. Интеграл типа Коши
Выражение
,
где
-
аналитическая функция на замкнутой области
, ограниченной положительно
ориентированным контуром
, называется интегралом Коши.
Если
лежит внутри
, то интеграл равен
, если же
лежит
вне
,то
- аналитическая
функция на
и,
следовательно, интеграл Коши равен нулю.
Пусть теперь
- любая кусочно-гладкая
ориентированная кривая, не обязательно замкнутая, и
- непрерывная функция,
определенная вдоль
. Выражение
(1)
называется
интегралом типа Коши. Оно представляет собой функцию
, определенную вне
.
Теорема 1. Интеграл (1) типа
Коши есть аналитическая функция
для всех
.
Производная порядка
от
вычисляется по формуле
(2)
Доказательство. Пусть
есть произвольный
круг, не имеющий общих точек с кривой
. Функция двух комплексных переменных
и
непрерывна
на множестве
и
имеет на нем непрерывную частную производную
(надо
учесть, что так как круг
не пересекается с
, то при любых
и
разность
). Это показывает,
что дифференцирование
по параметру
законно произвести под
знаком интеграла в (1):
.
При этом производная
непрерывна вне
(см. § 2.4,
теорема 4, которая легко обобщается на случай интеграла от комплексного
переменного). Но тогда
аналитична вне
.
Мы доказали формулу (2) в случае
. Для
рассуждения ведутся
по индукции.
Следствие. Если функция
аналитическая в
области
,
т. е. имеет непрерывную первую производную на
, то она имеет
производные всех порядков.
Доказательство. Пусть
- любая точка
и
- круг с центром в
, целиком
лежащий в области
, а
- окружность - граница
, ориентированная
против часовой стрелки. Тогда по формуле Коши
т.
е. функция
изображается
интегралом типа Коши при
и
. Значит, в силу теоремы 1
бесконечно
дифференцируема и
. (3)