§ 8. Более общие группы преобразований

Чтобы развить здесь математический аппарат, пригодный и для общей теории относительности, приведем некоторые ее положения.

В общей теории относительности уже нельзя больше определить расстояние между двумя точками, находящимися на конечном расстоянии друг от друга, так просто, как это было сделано с помощью соотношения (18). Однако и в этом случае квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками можно представить в виде квадратичной формы дифференциалов координат. Обозначим координаты не или, короче, а коэффициенты квадратичной формы — Опустим (по Эйнштейну) зпак суммирования, приняв раз навсегда, что производится суммирование от 1 до 4 по каждому индексу, встречающемуся дважды. Мы можем написать поэтому:

    (19)

Суммирование справа производится так, что индексы i и к пробегают значения от 1 до 4 независимо друг от друга. Комбинации , к, в которых , встречаются поэтому в (19) по Два раза, комбинации, в которых только по одному разу. Это приводит, например, к тому, что при дифференцировании квадратичной формы

по получается

что соответствует теореме Эйлера

В выражении вообще говоря, могут быть произвольными функциями координат. Соответственно общая теория относительности после того, как величины определены, имеет дело с теорией инвариантов группы всех точечных преобразований

Следуя эрлангенской программе Клейна [66], мы даем следующий перечень важнейших для физики групп преобразований, отчасти дополняя сказанное выше. Каждая

введенная в нем группа (за исключением В) содержит предыдущую в качестве подгруппы.

A. Группа линейных ортогональных преобразований (группа Лоренца), которая оставляет инвариантным квадрат расстояния

Неоднородные преобразования можно при этом по желанию причислять к группе или нет. Если определить лоренцеву группу как группу линейных преобразований дифференциалов координат, при которых остается инвариантным квадрат расстояния бесконечно близких точек

то она будет состоять из однородных преобразований. Для некоторых приложений, однако, важны именно смещения начал координат. Необходимо также различать группу собственно ортогональных преобразований с функциональным определителем, равным которые непрерывно могут переходить в тождественное преобразование, и охватывающую ее группу, содержащую также связанные с отражениями несобственные ортогональные преобразования с определителем, равным — 1.

B. Аффинная группа, содержащая все линейные преобразования.

В. Группа аффинных преобразований, которая сохраняет неизменным уравнение светового конуса

При этом

где — произвольная функция координат. О применении этой (конформной) группы к уравнениям Максвелла и о ее роли в теории гравитации Нордстрема см. § 28 и 65, б.

C. Проективная группа дробно-линейных преобразований. Она играла большую роль в ранних исследованиях математиков по неевклидовой геометрии. Для физиков эта группа не так важна (см., однако, § 18).

D. Группа всех точечных преобразований, сохраняющих инвариантной дифференциальную форму (19).

Теория инвариантов этой группы представляет собой тензорное исчисление общей теории относительности.

Е. Более общая группа Вейля (см. гл. V, § 65).