§ 30. Импульс и энергия электромагнитного поля. Дифференциальная и интегральная формы законов сохранения

В электродинамике доказывается, что плотность лоренцевой силы f может быть представлена как сумма поверхностной силы, вызванной максвелловскими напряжениями и взятой с обратным знаком производной по времени от плотности импульса электромагнитного поля (см. [132], § 7), т. е.

где максвелловские напряжения

и плотность импульса (см. [132], § 7)

Покажем, что векторное уравнение (D) вместе со скалярным уравнением для энергии (см. [132], § 6)

могут быть соединены в четырехмерное векторное уравнение. Образуем сперва из бивектора симметричный тензор второго ранга

Заметим, что

Компоненты тензора S равны:

Таким образом, пространственные компоненты тензора S равны с точностью до знака компонентам максвелловских напряжений; пространственно-временные компоненты

равны вектору Пойнтинга и плотности импульса, и временная компонента равна плотности энергии с обратным знаком. Уравнения (D) и (Е) можно тогда, как впервые отметил Минковский ([64], II), путем введения определенного соотношения (216) вектора f, записать в виде единой системы уравнений

Для получаем закон сохранения импульса, для — закон сохранения энергии. Поэтому закон (225) называют законом сохранения энергии-импульса, а тензор S — тензором энергии-импульса электромагнитного поля.

Далее оказывается, что вывод уравнений (С) и (D) из уравнений поля (А) и (В) сильно упрощается при использовании четырехмерной формы записи: формула (176) тождественна с (225), если отождествить с четырехмерным потенциалом, с бивектором напряженности поля и s с четырехмерным током; поэтому нужно только применить вывод а), § 23 к случаю постоянных (от этого вывод сильно упрощается), чтобы получить (225). Прямое вычисление также осуществляется без труда.

Релятивистское понимание закона сохранения энергии и импульса представляет интерес не только с формальной, но и с физической точки зрения. Если закон сохранения энергии (четвертая компонента (225)) имеет место в любой системе координат, то закон сохранения импульса получается сам собой. Оба закона играют при описании процессов природы вполне равноправную роль. В соответствии с пониманием вектора S в (Е) как потока энергии представляется последовательным говорить о величинах как о компонентах потока импульса. Поскольку импульс сам есть вектор, этот поток образует (в обыкновенном пространстве) тензор, в отличие от вектора S в случае потока энергии. Максвелловские напряжения, которые раньше рассматривались как чисто вспомогательные величины (см. [132], § 7, с. 163), приобретают поэтому физическое значение; оно было предложено Планком [151] (обобщение этого толкования и уравнений

(225) на неэлектромагнитный импульс см. в § 42). В местах, где на материю действуют пондеромоторные силы, из механического импульса возникает согласно (225) электромагнитный импульс, или наоборот. Аналогично положение с энергией (о попытках представить любые импульс и энергию как электромагнитные см. гл. V). Во всех других местах импульс и энергия электромагнитного поля «текут» как сжимаемая, а в частном случае стационарного поля — несжимаемая жидкость с неизменным количеством вещества.

Тензор относится к плотностям энергии и импульса; нужно выяснить также, как ведут себя полные энергия и импульс системы при переходе к движущейся системе координат. Для общего случая этот вопрос будет рассмотрен в § 42; здесь же ограничимся тем случаем, когда энергия и импульс носят чисто электромагнитный характер, т. е. плотность силы и плотность заряда везде равны нулю, так что имеют место уравнения (см. (225))

Эти уравнения имеют место в случае свободно распространяющейся в пространстве световой волны произвольной формы. Для того чтобы полные энергия и импульс волны были конечны, волна должна заполнять конечную область пространства. В четырехмерном мире этой области соответствует трубка с конечным сечением. Из рассмотрения, проведенного в § 21, следует, что величины после интегрирования по объему образуют компоненты четырехмерного вектора

Согласно (224) эти компоненты простым образом связаны с полным импульсом и полной энергией системы (световой волны):

Мы можем поэтому сказать, что в этом случае полная энергия и полный импульс образуют четырехмерный вектор. Отсюда немедленно следуют формулы преобразования

Заметим еще, что вектор ее может быть пространственноподобньм. Если бы последнее имело место, то можно было бы найти систему координат, в которой вектор G не равнялся бы нулю, а энергия Е равнялась. Это, однако, невозможно, так как Е может исчезнуть лишь тогда, когда поле вообще отсутствует. Поэтому имеем

Вектор J может, таким образом, быть или нулевым или времениподобным вектором. Примером первой возможности является ограниченный в пространстве плоских волн. Для подобного цуга, как известно, . Поскольку это соотношение может быть записано в форме оно должно иметь место в любой системе отсчета. Если а есть измеренный в К угол между направлением луча и скоростью системы К относительно К, то из (228) следует формула преобразований Эйнштейна для энергии конечной плоской волны ([15], § 8)

Если вектор J времениподобен, то всегда имеется система Ко, в которой полный импульс равен нулю. Из (228) следует, что если есть значение энергии в этой системе Ко, то в системе К, движущейся относительно Ко со скоростью V,

Примером в этом случае является сферическая волна конечной ширины или система двух совершенно одинаковых, но направленных в противоположные стороны плоских волновых цугов (об обобщениях этих соотношений на неэлектромагнитный импульс (или энергию) см. § 42).