§ 33. Феноменологическая электродинамика движущихся тел Минковского

Уравнения поля (203) и (208) электронной теории принципиально позволяют ответить на все вопросы электродинамики движущихся тел. Однако из-за несовершенства наших знаний о структуре вещества представляется также оправданным поставить вопрос о том, что можно сказать, используя принцип относительности, о макроскопических процессах в движущихся телах, если процессы в покоящихся телах считать известными из опыта. На этот вопрос ответил Минковский ([64], II), показавший, что из уравнений Максвелла для неподвижных тел

и принципа относительности однозначно следуют уравнения для движущихся тел. Аналогично тому, как это делается при четырехмерной формулировке уравнений электронной теории, сперва соединяют уравнения, не содержащие плотности тока и заряда, а затем уже остальные. Это соединение дает повод ввести два бивектора

и четырехмерный вектор

с соответствующими формулами преобразования

Если в К материя покоится, то v есть скорость материи в К (в отличие от скорости электронов . Уравнения (F) и (G) сохраняются и для движущихся тел, причем записываются так:

Они строго справедливы только для равномерно движущихся тел и, вследствие аддитивности полей, также при наличии многих тел, движущихся равномерно с различными скоростями и разделенных вакуумом. Степень точности, с которой справедливы уравнения (270) и (271), вообще говоря, тем больше, чем меньше ускорение материи.

Что касается физического смысла входящих в них величин, то нужно сказать, что Е и D (или В и Н) в вакууме есть силы, действующие на единичный, покоящийся в К электрический (или магнитный) полюс; в материальных телах смысл этих векторов не столь очевиден. Далее, и в системе К следует считать плотностями тока и заряда. Основание к этому мы получим в непроводнике, где непосредственно из (269 а), так как тогда так что — инвариант, совпадает с током конвекции. Далее, удовлетворяет уравнению непрерывности

Поэтому J всегда есть сумма тока проводимости и тока конвекции, — плотность заряда.

Вместо Е и Н удобно ввести измеряемые в К силы Е и Н, действующие на единичный электрический или магнитный полюс, движущийся вместе с материей,

Согласно (213), (267 а) и (268 а) получим

В противоположность Е и Н эти векторы имеют непосредственный физический смысл и внутри среды. Уравнения поля (270) и (271) также принимают, при введении векторов Е и Н, простую и наглядную форму. Если А есть произвольный вектор, то операция А может быть определена так:

причем интегрирование проводится по сопутствующей материи поверхности. Отсюда (см. [166], § 4, с. 78, уравнения (12), (13))

и уравнения поля могут быть записаны в виде

где — ток проводимости:

Уравнения (274) позволяют сразу же перейти к интегральной форме ([166], V, 13, § 6 и V, 14, § 33). Из формул преобразования (269 а) следует, что разделение тока на ток проводимости и ток конвекции не является независимым от системы отсчета. Даже если в К плотность заряда равна нулю и имеется только ток проводимости, то в К имеется плотность заряда, а следовательно, и ток конвекции [167]. Соответствующие формулы преобразования

получаются из (269 а) и (275):

    (276)

(об электронно-теоретическом обосновании этих формул см. в § 34).

Уравнения (F) и (G) или (274) образуют лишь пустую схему до тех пор, пока не введены соотношения, устанавливающие связь между Е, Н и D, В. Эти соотношения найдутся, если привлечь еще не использованные уравнения (Н). Из (267 а), (268а) и (273) сразу получаем

Разрешенные относительно D и В, эти уравнения после исключения Е и Н дают

а после исключения с помощью (273);

Для немагнитных тел в эти уравнения с точностью до членов первого порядка совпадают с указанной

Лоренцем связью между D и В и его величинами Е и Н, соответствующими нашим величинам Е и Н.

Дифференциальная форма закона Ома для движущихся тел получается из последнего уравнения (Н) аналогично (278). Согласно (276), (267 а) и (273) имеем

или

Формулы преобразования (277) для плотности заряда можно теперь записать так:

Для уравнений (278) и (279) Минковский предложил четырехмерную форму записи [168]

    (280)

и

где — компоненты четырехмерной скорости материи. Для доказательства справедливости этих уравнений нужно только показать, что в сопутствующей материи системе К они принимают вид (Н); в этом легко убедиться.

Каждое из трех соотношений (280) и (281) представляет собой систему четырех уравнений. Четвертое уравнение при этом есть следствие остальных, так как если умножить (280) и (281) скалярно на то обе части тождественно равны нулю.

Граничные условия получаются с помощью преобразования Лоренца из граничных условий для покоящихся тел. На граничной поверхности движущегося тела тангенциальные компоненты Е и Н и нормальные компоненты

В должны быть непрерывны. При этом, однако, предполагается непрерывность v. В случае тела, граничащего с пустотой, справедливы те же условия, если в выражении (273) для Е и Н сделать одинаковыми скорости с обеих сторон границы тела. Имеет также место соотношение где поверхностная плотность электрического заряда. Эти условия получаются прямо из (274), если потребовать, чтобы производные по времени от описывающих поле величин для какой-либо точки сопутствующей материи (эти производные находятся с помощью оператора были конечны.

Так же как уравнения Минковского получаются из соответствующих уравнений для неподвижных тел с помощью преобразований Лоренца, преобразования Галилея согласно Франку [170] приводят к уравнениям теории Герца [171],