§ 14. Параллельный перенос вектора

Для геометрического обоснования тензорного исчисления в рнмановом пространстве понятие параллельного переноса векторов является одним из основных. Впервые

оно было введено Леви-Чивитой [78], который при этом рассматривал римаяово пространство как поверхность в евклидовом пространстве (см. предыдущий параграф), затем Вейль [79] дал непосредственное его определение. Позднее Вейль ввел аксиоматически это понятие для пространства, в котором даже не определена метрика (см. гл. V) [80].

Пусть имеется кривая

Рассмотрим в каждой ее точке Р совокупность всех выходящих из нее векторов. Из всех отображений

совокупности векторов в на совокупность векторов в нужно выбрать инвариантным образом некую специальную группу отображений, которые можно было бы назвать параллельным переносом, или трансляцией. При этом нельзя просто постулировать, что два параллельных вектора в двух точках, отстоящих друг от друга на конечном расстоянии, имеют одинаковые компоненты, так как такое определение неинвариантно относительно выбора системы координат. Вместо этого свойства трансляции нужно сформулировать так:

1. В каждой точке Р имеется такая система координат, в которой равно нулю изменение компонент вектора при бесконечно малой трансляции вдоль всех исходящих из Р кривых, т. е. в которой для точки Р

То, что с помощью преобразования координат удается устранить бесконечно малые изменения компонент векторов одновременно для всех кривых, выходящих из точки Р, связывает между собой параллельные переносы вдоль различных кривых. Простое рассуждение показывает, что изменение компонент вектора в произвольной системе координат вследствие требования 1 должно иметь вид

где зависят только от координат, но не от , и симметричны относительно перестановки нижних

индексов:

Обратно, можно показать, что требование 1 выполняется, если верны соотношения (64) и (65). При линейном преобразовании координат ведут себя как компоненты тензора. Однако это верно только для линейного преобразования, а не для общей группы преобразований.. Последнее видно уже из того, что величины можно в некоторой системе координат обратить в нуль, тогда как компоненты тензора равны нулю во всякой системе координат, если они исчезают в одной какой-нибудь системе, так как они преобразуются линейно и однородно.

Определим еще величины при помощи соотношений

Определение параллельного переноса будет завершено вторым требованием (см. примеч. 6).

2. Трансляция есть конгруэнтное отображение, т. е. она оставляет неизменной длину вектора:

Этим величины связываются с фундаментальным метрическим тензором. Простым следствием требования 2 является неизмеппоетъ угла между векторами при параллельном переносе. Из того, что (64) и (67) должны удовлетворяться при произвольных следует, что

и

Величины получаются по (66). Кристоффель в своей работе [81] впервые ввел величины . Он записывал их при помощи символов вместо и

вместо Часто эти величины называют символами

Кристоффеля второго и первого рода.

Вейль [82] назвал их компонентами аффинной связности, так как бесконечно близкий перенос по (64) представляет собой аффинное отображение векторов. В этой книге они будут называться коэффициентами связности данной координатной системы. Координатная система, в которой они исчезают в точке Р, называется геодезической в точке Р,

Из инвариантности при любом получаются на основании (64) формулы преобразования для ковариантных компонент

и, наконец, из

следует тождество

Дифференцируя (26) и (27), получаем соотношения

и

Из (69) свертыванием получим

и затем, на основании (71),