§ 17. Римановы нормальные координаты и их применения

Во многих случаях полезно введение следующей координатной системы, рассмотренной Риманом в диссертации. Пусть задана произвольная система координат Проведем из какой-нибудь точки все геодезические линии. Их направления определяются касательными векторами в точке с компонентами . В некоторой

окрестности будет существовать только одна геодезическая линия, проходящая через и через заданную точку Р. Если s — длина геодезической дуги то точка Р однозначным образом определяется величинами

у и являются римановыми пормальпыми координатами. Очевидно, координатная система у касается координатной системы так, что в ней совпадают и вообще компоненты любых тензоров; мы будем отмечать эти компоненты кружком над буквой, например Произвольному преобразованию -системы соответствует аффинное преобразование -системы. Оставляя теперь в стороне -систему, найдем выражение линейного элемента в нормальной системе. Заметим сначала, что в точке по (80) все исчезают, так что уравнения всех геодезических линий, выходящих из являются линейными:

это значит, что риманова нормальная система координат является геодезической в точке . В произвольной точке Р линейны уравнения не всех геодезических линий, проходящих через нее, а только уравнение одной геодезической линии, проходящей также через Это обстоятельство выражается уравнениями

где значения коэффициентов связности в точке с координатами у. Эти уравнения должны выполняться для всех у. Наоборот, если для какой-либо координатной системы выполняются равенства (97) и (98), то она является нормальной системой. Можно показать [89], что вследствие этих соотношений линейный элемент имеет форму:

    (99)

В этой сумме пары индексов пробегают независимо друг от друга все возможных комбинаций, Из (99) следует (97) и (98), так что такая форма

линейного элемента является необходимым и достаточным условием того, чтобы данная система координат была нормальной. Величины представляют собой регулярные функции у и при ливейвом преобразовании у ведут себя как компоненты бивектора второго ранга (см. примеч. 5) и могут быть определены так [90], чтобы удовлетворять свойствам симметрии (53) этого тензора (см. § 11). Тензор кривизны в точке начала координат связан с очень просто, именно

    (100)

Поэтому тензор непосредственно измеряет в этих координатах отклонение геометрии от евклидовой. Риман далее отметил, что в случае пространства двух измерений, линейный элемент которого задается формулой

единственная независимая компонента тензора кривизны определяет гауссову кривизну поверхности К по формуле

Эта формула получается при непосредственном сравнения (89) с гауссовой формулой для К. Если и, v — нормальные координаты поверхности, то линейный элемент ее имеет вид

и гауссова кривизна К в согласно (100) и (101) равна

Знак К не связан с метрикой самой поверхности. Он имеет историческое происхождение а получился при рассмотрении поверхности как вложенной в евклидово пространство трех измерений. Исходя из выражения (99) для линейного элемента, казалось бы, естественнее выбрать обратный знак и, например, кривизну сферы назвать отрицательной.

С помощью нормальных координат можно свести понятие кривизны к кривизне поверхности. Этим способом Риман собственно и пришел впервые к определению кривизны. Пусть заданы два направления, которые определяются векторами и Длины этих векторов произвольны. Они определяют линейный пучок направлений

и двумерное направление

Вдоль каждого направления пучка построим геодезическую линию, выходящую из Совокупность этих геодезических линий образует поверхность, кривизна которой нас интересует. Линейный элемент поверхности получается из (99) подстановкой

Он имеет форму (102), где

Отсюда на основании (100) и (103) получается выражение для кривизны

(индекс опущен).

Полученный результат уже не связан с нормальными координатами (площади очевидно, выпадают). Каждому двумерному направлению, таким образом, соответствует инвариантная гауссова кривизна, которую по Риману называют кривизной пространства соответствующей данному двумерному направлению (при этом ей приписывают обратный но отношению к (104) зпак). В изложенном выше ясно проявляется то, что величины представляют собой компоненты (см. примеч. 5) битензора второго ранга (в смысле § 11),

В связи с выведенной Риманом формулой (104) Герглотц [88] показал, как можно геометрически интерпретировать свернутый тензор кривизны инвариант кривизны, Он пришел к следующим результатам. Пусть даны взаимно перпендикулярных направлений, которые определяют 2) двумерных направлений. Если кривизна пространства в двумерном направлении, определяемом векторами, то инвариант кривизны равен

где суммирование распространено на все комбинации индексов Сумма не зависит от выбора направлений и может быть названа средней кривизной в данной точке. Если вектор определяет некое направление, которому мы припишем индекс 0, то сумма

определяет свернутый тензор кривизны Эта сумма также не зависит от выбора направлений. Эти интерпретации дают геометрическое доказательство тензорного характера и инвариантности , которые ранее были доказаны алгебраическим методом. Если теперь принять направление 0 совпадающим с одним из ортогональных направлений, например с 1, то получается соотношение

Из (105) и (107) следует, что средняя кривизна перпендикулярного к заданному вектором направлению 1 равна

где

Этот тензор играет важную роль в общей теории относительности. (Его называют тензором Эйнштейна.)

Упомянем еще простую теорему [92] Фермейля, основанную на выражении (99) для линейного элемента. Объем шара радиуса в евклидовом пространстве имеет простое выражение

где — коэффициент, значение которого для нас здесь несущественно. В римановом пространстве — сложная функция . Если разложить ее в ряд по степеням и ограничиться только одним членом, следующим за , получим

где R — инвариант кривизны в центре шара. Дифференцированием получаем отсюда формулу для площади поверхности шара

Мы можем эти соотношения использовать для нового геометрического определенна инварианта кривизны. Именно

Введение нормальных координат сводит вопросы инвариантности при любом преобразовании к инвариантности при линейном преобразовании. Можно показать (отвлекаясь от несущественного постоянного множителя), что R является единственным инвариантом, который зависит только от в их первых в вторых производных,

причем от последних линейно [92, 94]. Все линейные тензоры второго ранга, которые обладают теми же свойствами, имеют вид [92, 94]: