§ 28. Ковариантность оеновных уравнений электронной теории

Еще в § 1 было отмечено, что нековариантность уравнений Лоренца для электромагнитного поля относительно преобразований Галилея явилась одним из главных побуждений для создания теории относительности. В своей работе 1904 г. [13] Лоренц был очень близок к тому, чтобы установить ковариантность этих уравнений относительно

группы преобразований теории относительности. Полностью это доказательство было дано, независимо друг от друга, Пуанкаре [14] и Эйнштейном [15]. Четырехмерная формулировка вопроса принадлежит Минковскому (Минковский I, см. [64]), который впервые ввел понятие бивектора.

Для того чтобы представить уравнения поля в четырехмерной инвариантной форме, рассмотрим сначала те из них, которые не содержат плотности заряда, т. е. уравнения (см. [130])

Полагая

и соответственно в действительной системе можно записать (В) так:

Из инвариантности выражения (203) относительно преобразования Лоренца следует далее, что система величин образует бивектор. Остающийся вначале в формулах преобразования неопределенный множитель может быть исключен многократно упоминавшимся выше способом. Если вместо ввести определяемый согласно (54) дуальный тензор

то система уравнений (203) может быть записана в виде [см. (142) и (141b)]

Как известно, в обыкновенном пространстве Е есть полярный, а Н - аксиальный вектор, но не наоборот. Мы должны поэтому считать описание электромагнитного поля с помощью тензора (202) естественным, а описание поля с помощью тензора (202а) - искусственным. У Минковского (Минковский I, см. [64]) приведены оба написания уравнений поля. Первое из них, во многих случаях,

в частности в общей теории относительности, более наглядное и удобное, оказалось впоследствии забытым и, например, не используется Зоммерфельдом [65], Впервые на него вновь обратил внимание Эйнштейн [131] в 1916 г.

Из тензорного характера следуют формулы преобразования напряженностей полей при переходе к движущейся системе отсчета. Скорость v, фигурирующая в преобразованиях Лоренца, может быть здесь произвольным образом ориентирована относительно оси х координатной системы. При этом

Таким образом, разделение поля на электрическое и магнитное имеет лишь относительный характер. Если, например, в системе К имеется только электрическое поле, то в системе К, движущейся относительно К, есть также и магнитное поле. Это замечание устраняет известную трудность, возникавшую при объяснении явления индукции, с одной стороны, при помощи движения магнита, а с другой стороны, при помощи движения проводника, в котором индуцируется ток.

Электромагнитные потенциалы теории Лоренца: скалярный и векторный А, также имеют простое четырехмерное истолкование. Как впервые было отмечено Минковским (см. [64], Минковский I), они могут быть соединены в один вектор четырехмерного мира — четырехмерный потенциал:

Выражения для напряженности поля [132]

принимают при этом вид {см. (140а))

Четырехмерный потенциал представляет собой вспомогательную величину, оказывающуюся часто полезной, но не имеющую в теории Лоренца никакого физического смысла. Первая система уравнений поля — система (203) — является следствием уравнений (206) и, наоборот, если имеет место (203), то векторное поле всегда может быть определено так, чтобы удовлетворялись уравнения (206). Этим требованием не определяется, однако, однозначно; более того, если есть решение уравнений (206) при заданном то эти уравнения удовлетворяются также величинами где — произвольная скалярная функция пространственно-временных координат. Поэтому для однозначного определения в теории Лоренца (см. [132], § 4, уравнение ) добавляется условие

которое можно записать в четырехмерной форме:

Четырехмерное истолкование вектора Герца Z до сих пор не дано.

Вторая система уравнений Максвелла (см. [132], § 2, уравнения (I), (II) и (IV)), содержащая плотность зарядов

может быть преобразована аналогично системе (В). Из (198) и (202) непосредственно следует, что

(см. (141b)). Если определить плотность заряда системой уравнений (С), то сразу очевиден векторный характер системы величин что было уже обосновано другим способом ранее. Подставляя в (208) согласно (206) векторный потенциал, получаем (см. (145))

и, вследствие (207),

Ковариантность уравнений электромагнитного поля относительно группы Лоренца наводит на вопрос о том, нет ли еще более широкой группы преобразований, относительно которой ковариантность уравнений сохраняется. Ответ на этот вопрос был дан Кэннингхэмом и Бэйтменом [133], Наиболее общей группой указанного типа является группа конформных преобразований (см. § 8, и. В), переводящая уравнение светового конуса

само в себя. Кроме преобразований группы Лоренца она содержит преобразования инверсии относительно четырехмерного шара или гиперболоида в действительной системе координат. Теорема Бэйтмена предстала в новом свете с точки зрения теории Вейля (см. гл. V), Ф. Франк [134] дал простое доказательство того, что группа Лоренца в соединении с обыкновенными преобразованиями подобия представляет собой единственную линейную группу, относительно которой ковариантны дифференциальные уравнения Максвелла.