§ 38. Независимое от электродинамики обоснование релятивистской механики

Приведенный выше вывод неудовлетворителен в том отношении, что опирается на электродинамические соображения. Поэтому существенно, что Льюис и Толмен [199] дали также другой вывод, совершенно не связанный с электродинамикой. В этом выводе первичным является не понятие силы, а понятие импульса. Постулируется, что каждой движущейся материальной точке могут быть приписаны параллельный скорости вектор импульса и кинетическая энергия и при этом имеют место законы сохранения. Это значит, что при взаимодействии между массами системы, при котором энергия и импульс не излучаются и не выделяется теплота, суммы энергий и импульсов отдельных масс должны оставаться постоянными. В частности, это должно иметь место при упругом ударе. Далее, Льюис и Толмен придумали мысленный эксперимент, покалывающий, что форма зависимости энергии в импульса от скорости однозначно определяется из требования инвариантности законов сохранения относительно преобразований Лоренца.

Пусть два наблюдателя движутся в направлении оси х с относительной скоростью V. Пусть наблюдатели бросают друг другу по оси у и с одинаковой скоростью и шары одинаковой массы, и при этом направление удара имеет направление оси у. Тогда прежде всего сохраняются z компоненты скорости обоих шаров. Далее, из соображений симметрии следует, что наблюдатель В видит такое же движение своего шара, какое наблюдатель А видит для своего. На основании теоремы сложения скоростей (10) находим значения компонент скорости №, обоих сталкивающихся тел в К.

До удара А

До удара В

После удара А

После удара В

Если — абсолютное зидчпияе скорости, то импульс можно записать так:

где , по определению называется массой и может зависеть только от абсолютного значения скорости. Из сохранения импульса в направлении х следует, что

а из сохранения импульса в направлении у —

Переходя после деления на и к проделу и записывая вместо m (0), находим

что и требовалось Доказать. Легко ппдеть, что выражение (а) удовлетворяется этим соотношением при любом и. Поскольку импульс определен, выражение (318Ь) для кинетической эпергии также легко получается с помощью преобразования Лоренца. Сила теперь определяется как производная от импульса по времени, а формулы преобразования для нее получаются сразу. Тем самым доказана возможность обосновать релятивистскую механику независимо от электродинамики (см. примеч. 12).

Можно еще заметить, что законы упругого удара, к которым ведет релятивистская механика, были для общего случая выведены и разобраны Юттнером [202],