§ 57. Вывод гравитационных уравнений из вариационного принципа

То обстоятельство, что тензор удовлетворяет уравнению (182), связано, согласно § 23, с тем, что он получается путем варьирования -поля из интегрального инварианта

если вариации компонент поля исчезают на границах. Далее, в § 55 мы видели, что тот интегральный инвариант который при варьировании материальных переменных приводит к дифференциальным уравнениям механического (упругого) и электромагнитного полей, при варьировании -поля дает тензор энергии-импульса материи

Оба эти соотношения приводят к тому, что все физические законы могут быть объединены в один вариационный принцип

На границах области интегрирования вариации компонент поля должны при этом исчезать. Особенностью этой функции действия является возможность разделить ее на дно части, из которых одна независима от материальных переменных, а другая — от производных (о более общих функциях действия, не обладающих этим свойством, см. гл, V).

Вариационный принцип (403) приводит одновременно, на основании § 55 и 56. к наглядному объединению

соотношений между уравнениями поля материальных процессов и тяготения: из обеих систем уравнений следует закон сохранения энергии-импульса (341 а) (см. § 54). Согласно (184) из § 23 закон сохранения энергии-импульса может быть представлен еще и в другой форме. Полагая

где определены соотношениями (183) и (185), вследствие (184) и (401) находим

Согласно выводу, эти уравнения общековариантны, хотя величины лишь при линейных преобразованиях преобразуются как компоненты тензора. В отличие от формы (341 а) закона сохранения энергии-импульса, из (406) можно получить законы сохранения энергии и импульса также и в интегральной форме. Поэтому Эйнштейн назвал величины компонентами энергии-импулъса гравитационного поля, сопоставляя их, как в известной степени равноправные, с компонентами тензора энергии-импульса материи. О дальнейших физических следствиях этой точки зрения см. § 61.

Вариационный принцип (403) имеет, наконец, практическое значение при интегрировании уравнений поля в некоторых частных случаях. Позволяя обойтись без обращения к общим дифференциальным уравнениям, этот принцип значительно сокращает вычисления (подробнее см. § 58, ).