§ 16. Кривизна пространства

Понятие кривизны пространства было впервые введено Риманом [76] как обобщение гауссовой кривизны поверхности на случай многообразия измерений {см. § 17). Однако относящиеся к этому аналитические идеи оставались неизвестными до публикации им парижской конкурсной работы. Эта работа содержит его результаты полностью: как метод исключения, так и вариационный метод. Уже ранее, однако, Кристоффель [81] и Липшиц 187] получили те же результаты, исследуя условия возможности преобразования квадратичной формы

к виду

Эта проблема в свою очередь является частным случаем проблемы эквивалентности двух квадратичных дифференциальных форм, которая также была сформулирована Кристоффелом, и заключается в нахождении условий возможности преобразования друг в друга двух форм:

Эта общая проблема эквивалентности не оказалась, однако, пока существенной для физики. На основании чисто

формального, но очень короткого, по сравнению с кристоффелевскими вычислениями, рассуждения Риччи и Леви-Чивиты [67] пришли к понятию тензора кривизны. К их рассмотрению кривизны примыкает и Эйнштейн [67]. Наконец, Гессенберг [72] и Леви-Чивита [78] дали наглядное геометрическое объяснение этого понятия, связав его с параллельным переносом векторов.

В § 14 рассматривался все время параллельный перенос вектора вдоль задапной кривой, а не простой перенос вектора из точки Р в точку Р. Последний же только в евклидовой геометрии не зависит от пути. Если же в общем случае перенести вектор вдоль замкнутой кривой в начальную точку, то перенесенный вектор будет отличен от начального вектора На основании этого можно определить тензор кривизны. Пусть задана совокупность кривых

зависящая от двух параметров. Перенесем произвольный вектор из точки через точки снова в точку Перенос будет происходить поочередно по кривым с постоянным v и кривым с постоянным и. Разница должна быть, очевидно, порядка так как опа равна нулю, когда или равно нулю.

Предел может быть на основании (64) сразу определен. Он равен

где

Заметим, что — разность двух векторов в одной и той же точке. Поэтому левая часть (85) имеет векторный характер, а, стало быть, векторным характером обладает и правая часть (85). В силу этого величины представляют собой компоненты тензора. Этот тензор и есть

тензор кривизны, который в честь математиков, впервые его получивших, назван тензором Римана—Кристоффеля. Смысл формул (85) становится наглядпее, если перейти в них от производных к дифференциалам. Будем писать вместо и вместо и введем бивектор

Учтя антисимметричность относительно индексов и к, мы можем придать равенству (85) вид

Аналогично можно получить изменение ковариантпых компонент вектора при параллельном переносе вектора вдоль замкнутой кривой. На основании (70) следует, что

где

Далее, легко показать, что

и вследствие этого

    (91)

Из соотношения (89) следует, что удовлетворяет условиям симметрии

    (92)

и поэтому на основании § 14 является бивектором второго

ранга (см. примеч. 5). Соотношения (92), как показал Гессенберг [72], могут быть также выведены непосредственно из определения тензора кривизны (87). Так как Риман вместо RMjk писал (hijk), эти величины иногда называют четырехиндексными символами. Они равны нулю в евклидовом пространстве, так как исчезают в той системе координат, в которой постоянны, а следовательно, исчезают и в любой координатной системе. Это равенство нулю является необходимым условием возможности преобразования формы в форму

Из бивектора второго ранга свертыванием получаем линейный тензор второго ранга (см. примеч. 5):

Его свойства симметрии следуют из равенств

Компоненты тензора согласно (86) равны

Вторичным свертыванием из пего получается инвариант кривизны

Нужно еще заметить, что у Герглотца [88] и в работах Вейля [80] тензор кривизны определен со знаком, противоположным знаку, употребляемому здесь и у других авторов.