§ 10. Геометрическая интерпретация контра- в коварнантных компонент вектора

Геометрически можно представить вектор в виде отрезка и назвать его поэтому линейным тензором. Его контравариантными компонентами являются параллельные проекции этого отрезка на координатные оси. Если начальную точку вектора поместить в начале координат, то эти проекции будут представлять собой координаты конечной точки вектора. Последние же на основании предыдущего параграфа ведут себя при переходе к новой системе координат как контравариантные компоненты вектора. Как и в пространстве трех измерений, можно представить сумму двух векторов диагональю параллелограмма.

Мы должны теперь ввести понятия длины и угла. Будем исходить при этом из декартовой (ортогональной) системы координат В ней квадрат длины некоторого вектора х с компонентами определяется формулой

и два вектора называются ортогональными, если

равно нулю. Величина называется скалярным произведением векторов х и у. Инвариантность этого определения относительно ортогональных преобразований следует из инвариантности (30) и из соотношения

Так как это — форма, положительно определенная относительно то

причем знак равенства относится к случаю параллельности х и у, т. е. к случаю, когда Вследствие этого мы можем определить угод между двумя направлениями соотношением

Геометрический смысл скалярного произведения такой же, как в трехмерном пространстве: оно равно ортогональной проекции вектора х на направление у, умноженной на длину у. В этом можно непосредственно убедиться, выбрав ортогональную систему координат так, чтобы одна из осей совпадала с направлением у, что всегда возможно.

Чтобы найти теперь выражения для длин и скалярного произведения векторов в любой косоугольной системе координат, охарактеризуем эту систему четырьмя базисными векторами , контравариантные

координаты которых в этой системе равны

Их длины в общем случае отличны от единицы. Таким образом, хотя длина вектора будет измеряться единым масштабом во всех координатных системах, проекции его на оси, вообще говоря, даже для разных осей одной и той же системы коордиттат будут измеряться различными масштабами. Тогда каждый вектор х может быть представлен в форме

Следовательно, длина и скалярное произведение равны

где

Из равенства (37) можно усмотреть геометрическое значение величин

Введем теперь четверку векторов взаимных четверке векторов е. Она определяется соотношениями

т. е. векторы перпендикулярны к подпространствам, образуемым соответствующими тремя векторами и их длины к тому же определенным образом нормированы. Если мы теперь обозначим параллельные проекции х на взаимные оси, измеренные в соответствующих масштабах, то

Чтобы получить соотношение между и умножим равенство

скалярно на Учитывая (37) и (38), получаем

Другими словами, параллельные проекции вектора х на взаимные оси, измеренные в единицах масштаба, соответствующих этим осям, являются ковариангными координатами вектора. 13 то же время, умножая (39а) скалярпо на находим

и, так как

Образуя квадраты выражений (34) и (39), а также перемножая эти выражения, получаем

    (35а)

Аналогично, образуя скалярное произведение векторов

находим

Остается установить поведение базисных векторов при преобразовании координат. Если — базисные векторы новой (штрихованной) системы координат, то для любого вектора х имеем

Из соотношений (22) и (23) следует, что

Таким образом, а являются компонентами новых базисных векторов в старой системе, компонентами старых базисных векторов в новой системе. В заключение отметим, что на основании (37) и (42) для фундаментального тензора легко установить формулы преобразования (25).