§ 48. Применение релятивистской механики к статистике
В пространстве канонических переменных 
(см. § 40) справедлива теорема Лиувилля:
так как опа является непосредственным следствием уравнений Гамильтона. Теорема справедлива, естественно, и в пространстве других переменных 
которые получаем из канонических путем преобразования с функциональным определителем, равным единице, т. е.
В общих теоремах статистики не используются другие предположения, кроме теоремы Лиувилля; очевидно, они остаются справедливыми и в статистике, основанной на релятивистской механике. Сформулируем эти теоремы так:
1. Пусть энергия как функция переменных 
удовлетворяющих условию (372 а), что и предполагается везде в дальнейшем, задана выражением
Энтропия тогда выражается в виде
где V — объем, ограниченный поверхностью 
или объем слоя между поверхностями 
или
2. Свободная энергия 
задается выражениями
3. Закон равномерного распределения: средние по времени от величин 
равны
В частности, для канонических переменных
Здесь имеется некоторое отличие от обычной механики.
В последней 
так что первое из уравнений (377 а) означает просто, что средние по времени от частей кинетической энергии, соответствующих одной степени свободы, все равны между собой и при этом равны 
. В релятивистской механике связь между законом равномерного распределения и средней кинетической энергией теряется.
4. Закон распределения Максвелла — Больцмана. Пусть энергия нашей системы разбивается на две части
зависящих от различных переменных. Пусть, далее, число 
переменных первой части гораздо меньше числа 
переменных второй части. Наконец, потребуем, чтобы обе группы переменных независимо друг от друга получались из различных канонических переменных путем преобразования с функциональным определителем, равным единице. Тогда вероятность того, что первые переменные независимо от значений вторых переменных имеют в объеме 
значения 
равна
(379)
Не зависящая от х величина А определяется из условия
Для справедливости закона распределения (379) нужно, по предположению, чтобы величина 
была мала по сравнению с (постоянной) величиной 
.
