§ 51. Общая формулировка принципа эквивалентности. Связь между гравитацией и метрикой

Первоначально принцип эквивалентности был установлен лишь для однородных полей тяготения. В общем случае он может быть сформулирован так:

Для бесконечно малой области четырехмерного мира е. для области, столь малой, что пространственно-временными изменениями силы тяжести в ней можно пренебречь) всегда существует такая система координат Ко , в которой сила тяжести, не влияет ни на движение материальной точки, на любые другие физические процессы. Коротко говоря, в бесконечно малой области мира любое поле тяготения может быть уничтожено с помощью преобразования координат. Местная система координат Ко может быть мысленно реализована в виде свободно парящего, достаточно малого ящика, на который не действуют никакие внешние силы, кроме силы поля тяготения, в котором он свободно падает.

Очевидно, что указанное преобразование возможно только потому, что поле тяготения обладает фундаментальным свойством сообщать всем телам одинаковое ускорение, или, иначе говоря, потому, что тяжелая и инертная массы всегда равны. Это утверждение имеет очень надежный экспериментальный фундамент. Действительно, при исследовании того, зависит ли результирующая силы притяжения Земли и центробежной силы (вращения Земли) от вещества тела, Этвеш [263] (см. также [264]) показал, что инертная и тяжелая массы равны с точностью до 1/108. В связи с законом инертности энергии представляет далее интерес исследование Саутериса [264], показавшее, что отношение массы к весу для окиси урана отличается от соответствующего отношения для окиси свинца самое большее на Из принципа эквивалентности, действительно, следует, в сочетании с законом инертности энергии, что любой форме энергии нужно приписать также вес. Если бы внутренняя энергия, освобождающаяся при радиоактивном распаде урана, имела инертную массу и не обладала тяжелой, то указанные отношения отличались бы друг от друга на 1/26 000. Этвеш [263] подтвердил это, причем точность оказалась еще большой.

Представляется довольно естественным принять, что в Ко справедлива специальная теория относительности. Все законы этой теории должны, таким образом, сохраниться, если вместо галилеевой системы (см. § 2) ввести определенную для бесконечно малой области систему Все системы Ко, получаемые друг из друга путем преобразований Лоренца, равноправны. В этом смысле мы можем сказать, что инвариантность физических законов относительно преобразований Лоренца сохраняется в бесконечно малом. Двум бесконечно близким точечным событиям мы можем отнести определенное, могущее быть измеренным число — расстояние между ними Для этого мы должны только с помощью преобразования координат удалить поле тяготения, после чего образовать в выражение

При этом дифференциалы координат следует определять непосредственно с помощью эталонных часов и масштабов. Рассмотрим теперь любую другую систему координат К, в которой соотношение между мировыми точками и значения координат совершенно произвольны, если отвлечься от условий однозначности и непрерывности. Тогда в каждой точке пространства-времени дифференциалы будут линейными однородными функциями дифференциалов и величина перейдет в квадратичную форму

    (388)

где коэффициенты являются функциями координат. Далее ясно, что при переходе к новым координатам величины преобразуется так, что остается инвариантным. Соотношения, таким образом, здесь вполне аналогичны имеющим место в неевклидовой геометрии многомерных многообразий (см. § 15). Система в свободно падающем ящике играет роль геодезической системы § 16; в ней постоянны, если пренебрегать их вторыми дифференциалами, а элемент длины с точностью до величины второго порядка имеет вид (387). Совокупность значений во всех мировых точках назовем -полем.

Закон движения материальной точки, на которую не действуют никакие силы, кроме гравитационных, может быть просто сформулирован так: мировая линия подобной материальной точки есть геодезическая линия (§ 17) и, согласно (81) и (80),

где определены формулами (66) и (69). В системе материальная точка в рассматриваемый момент движется равномерно и прямолинейно, т. е. . Эти уравнения одновременно являются уравнениями геодезической линии в . Утверждение, что мировая линия материальной точки есть геодезическая, инвариантно и, следовательно, справедливо и в общем случае. (При этом, конечно, принято, что закон движения для материальной точки не содержит вторых производных величин по координатам.) Справедливость такого простого закона не удивительна. Мы попросту определили элемент длины таким

образом, чтобы мировая линия материальной точки была геодезической. Мы видим, таким образом, что 10 компонент тензора играют в теории Эйнштейна роль скалярного ньютонова потенциала Ф; образуемые из их производных компоненты определяют значение силы тяготения.

Совершенно аналогичное рассуждение может быть проведено для световых лучей. В системе световые лучи представляют собой прямые линии и, кроме того, удовлетворяют соотношению

Поэтому мировыми линиями световых лучей являются в общем случае нулевые геодезические линии (см. § 22):

    (81а)

Кречман [266] и Вейль [267], кроме того, показали, что наблюдения над приходом световых лучей достаточны для определения -поля в конкретной системе координат и без рассмотрения движения материальной точки.

Существует, однако, еще третий способ измерения -поля. С помощью масштабов (или лучше масштабной нити) и часов можно определить в некоторой определенной заданной системе координат зависимость величины линейного элемента от дифференциалов координат на всех выходящих из какой-либо точки мировых линиях. -поле получается отсюда непосредственно. Оно, таким образом, характеризует не только гравитационное поле, но и поведение масштабов и часов, метрические соотношения (метрику) четырехмерного мира, содержащие геометрию обыкновенного трехмерного пространства как частный случай. Это слияние двух раньше совершенно различных объектов метрики и тяготения должно рассматриваться как прекраснейшее достижение общей теории относительности. Как мы видели (и как в этом можно убедиться с помощью простых примеров), слияние метрики и гравитации является необходимым следствием принципа эквивалентности и справедливости специальной

теории относительности в бесконечно малой области. Движение материальной точки под влиянием воздействия одного гравитационного поля может теперь рассматриваться так же, как свободное, т. е. происходящее без воздействия сил. Прямолинейным и равномерным оно не является потому, что четырехмерный пространственно-временной континуум не является евклидовым; поэтому в нем равномерное и прямолинейное движение не имеет никакого смысла и заменяется движением по геодезической линии. В соответствии с этим закон инерции Галилея заменяется законом

имеющим то большое преимущество по сравнению с галилеевым, что он носит общековариантный характер. Тяготение в теории Эйнштейна является такой же кажущейся силой, как силы Кориолиса и центробежная в теории Ньютона (с таким же правом можно, конечно, представить дело так, что в теории Эйнштейна ни одна из названных сил не должна считаться кажущейся). То обстоятельство, что сила тяготения в конечных областях, вообще говоря, не может быть устранена с помощью преобразования координат, в то время как центробежная кориолисова силы могут быть устранены, здесь не имеет значения. В бесконечно малых областях тяготение всегда может быть устранено, и только это является решающим. Тот факт, что неевклидов характер пространства-времени крайне мало сказывается на свойствах масштабов и часов, а на отклонении движения материальной точки от прямолинейного и равномерного (т. е. в гравитационном действии) сказывается очень сильно, связан, как мы увидим в § 53, со значением скорости света. Вследствие слияния гравитации и метрики находит удовлетворительное разрешение не только гравитационная проблема, но и проблема геометрии. Вопросы о справедливости геометрических законов и о действительно господствующей в мирз геометрии лишены смысла до тех пор, пока геометрия имеет дело только с мысленными образами, а не с предметами реального мира. Если же добавить к законам геометрии определение, что длиной (бесконечно малого) отрезка является число, определяемое известным способом с помощью твердого стержня или масштабной нити, то геометрия становится частью физики и указанные выше

вопросы приобретают определенный смысл [268]. Здесь общая теория относительности позволяет сразу сделать общее утверждение, что поскольку тяготение определяется материей, то же самое должно быть постулировано и для геометрии. Таким образом, геометрия пространства не задана a priori, а определена материей (подробнее см. § 56). Аналогичного мнения придерживался еще Риман [76]. Однако в то время подобное мнение оставалось лишь смелой гипотезой, поскольку установление связи между геометрией и тяготением возможно только после того, как метрическая взаимозависимость пространства и времени уже осознана.