§ 60. Общее приближенное решение Эйнштейна и его применения

Строгие решения уравнений гравитационного поля до настоящего времени удалось найти лишь для статического случая. Поэтому очень важно, что Эйнштейном [317] был указан метод, позволяющий приближенно определить -поле в случае масс, движущихся сколь угодно быстро; при этом требуется, чтобы массы были достаточно малы. Тогда лишь мало отличаются от их нормальных значений, так что квадратами отклонений от этих значений можно пренебречь и в дифференциальных уравнениях гравитационного поля (401) нужно сохранить лишь линейные члены; поэтому их интегрирование может быть осуществлено без труда.

Если мы введем здесь снова мнимую временную координату то можем положить

откуда, вследствие соотношения , с точностью до членов высших порядков, получаем

Следует заметить, что величины имеют тензорный характер лишь относительно преобразований Лоренца. Учитывая выражение (94) для свернутого тензора кривизны, приходим к следующему виду уравнений поля (401) в выбранном приближении:

Здесь введено сокращение

Далее, для упрощения, введем величины

а также присоединим еще обратные уравнения, решенные относительно нештрихованных величин:

Тогда из (438) получим

Эти уравнения могут быть ещё значительно упрощены в случае подходящей нормировки координатной системы. Требованием, чтобы лишь немного отличались от их нормальных значений, координатная система устанавливается лишь с точностью до величин порядка Поэтому можно выбрать координатную систему, в частности, так, чтобы в нормированной системе выполнялось уравнение

Гильберт [108] дал математическое доказательство того, что при любых заданных значениях в первоначальной системе всегда может быть сделан такой выбпр координатной системы, чтобы новые координаты отличались от старых лишь на величины порядка и одновременно выполнялось требование (441). В нашем распоряжении имеется как раз четыре функции для того, чтобы удовлетворить четырем уравнениям (441).

Очевидно, что при условии (441) дифференциальные уравнения (438а) принимают простой вид

где, как и в специальной теории относительности, означает Интегрирование осуществляется известным

способом с помощью запаздывающих потенциалов:

    (443)

В силу закона сохранения энергии (341а) эти решения с принятой здесь точностью удовлетворяют также уравнениям (441).

Из (443) вытекает, что гравитационные воздействия, так же как и электромагнитные, распространяются со скоростью света. Форма гравитационных волн в пустом пространстве получается из (441) и (442), если положить . А именно, для плоской волны, распространяющейся по оси

из (441) следует, что

Уравнения (442) выполняются тождественно. Эйнштейн [318] показал, кроме того, что при подходящем выборе системы координат можно добиться также выполнения соотношений

Об излучении и поглощении гравитационных волн будет сказано в следующем параграфе (см. примеч. 17),

Для поля покоящейся материальной точка уравнения (443) дают

т. е.

Таким образом, снова получаются величины первого порядка по полю Без особых затруднений может также быть вычислено поле движущихся точек. При этом прежде всего оказывается, что отклонения движения от законов механики Ньютона — второго порядка относительно — в согласии с требованиями опыта.

Отклонение от механики Ньютона связано также со следующим обстоятельством. Релятивистская теория

готения совпадает с ньютоновой в том отиошении, что гравитационное поле покоящегося шара оказывается таким же, как поле материальной точки. Это, однако, не имеет места в случае вращающегося шара. Тирринг и Лензе [320] применили к этому случаю формулы Эйнштейна и вычислили возмущения орбит планет и Луны, вызнанные вращением центрального тела. Все они слишком малы, чтобы поддаваться наблюдению. Общая дискуссия вопроса о возмущениях орбит планет и Луны, вытекающих из теории Эйнштейна, имеется у до Ситтера [321], Кроме движения перигелия Меркурия, нет никаких возмущений, которые можно было бы наблюдать.

Однако важнейшим из применений приближенного решения (443) является исследование Тирринга [322] об относительности центробежной силы. Поскольку в общей теории относительности явления могут описываться и в системе отсчета, вращающейся относительно галилеевой, нужно, чтобы центробежную силу можно было также рассматривать как гравитационный эффект, вызываемый относительным вращением неподвижных звезд. Можно было бы думать, что допустимость такого понимания в общей теории относительности гарантирована уже в силу общей ковариантности уравнений поля. Это, однако, не так, потому что здесь существенны граничные условия на бесконечности (подробнее см. § 62). Поэтому Тирринг не ставил перед собой задачи доказать полную эквивалентность относительного вращения звезд небесного свода и вращения системы отсчета относительно галилеевой системы; вместо этого он так модифицировал постановку вопроса, что трудности, связанные с установлением граничных условий, отпали.

Представим себе в инерциальной системе теории тяготения Ньютона вращающийся полый шар, находящийся вдали от покоящихся или медленно прямолинейно и равномерно движущихся звезд. С релятивистской точки зрения ясно, что если масса полого шара сравнима с массой звездной системы, внутри шара появятся центробежная и кориолисова силы. Однако из соображений непрерывности следует, что и в том случае, когда масса шара мала, подобные силы, хотя, быть может, и очень слабые, будут налицо. В последнем случае (т. е. если масса шара мала), мы можем без дальнейших усложнений применять формулы (443), так как очевидно, лишь мало отличаются от их нормальных значений.

Вычисление показывает, что материальная точка, находящаяся внутри полого шара, испытывает ускорение, вполне аналогичное центробежному и кориолиеову ускорениям классической механики. Если вектор угловой скорости, — перпендикуляр от оси вращения к материальной точке и ее скорость, то эти ускорения, конечно, не равны прямо выражению

получающемуся, согласно классической механике, в системах отсчета, вращающихся с угловой скоростью относительно измерительной системы; выражения Тирринга равны этим двум членам, умноженным на фактор порядка отношения гравитационного радиуса полого шара радиусу а. Поскольку это отношение для всех имеющихся в нашем распоряжении масс крайне мало, всякая надежда проверить экспериментально этот принципиально важный результат тщетна. Понятно также, почему примитивный опыт Ньютона с вращающимся сосудом с водой, а также более точный опыт Б. и Т. Фридлендеров [323], пытавшихся обнаружить центробежную силу внутри вращающегося махового колеса, должны были привести к отрицательным результатам.