§ 23. Бесконечно малые преобразования координат и вариационные принципы

Если некоторая величина инвариантна относительно преобразования координат вообще, то она, конечно, инвариантна и относительно бесконечно малых преобразований координат. Польза рассмотрения последних основана на том, что из инвариантности величины относительно бесконечно малых преобразований можно вывести дифференциальные уравнения, которым эта величин; должна удовлетворять. Мы определим такое преобразование координат формулой

где — бесконечно малая величина, а могут произвольным образом зависеть от координат. Все разности между функциями с чертой и без черты разложим в ряд по степеням . При этом мы будем иметь дело только с членами первого порядка, которые называются вариациями соответствующих функций. Чтобы получить вариации каких-нибудь тензоров при переходе от координатной системы без черты к системе с чертой, нужно в общие формулы преобразования (25) вставить величины

Последние выражения следуют из равенства и верны, конечно, только с точностью до величин первого порядка относительно . Отметим еще, что детерминант преобразований равен

Таким образом, мы получим для вариации вектора выражения

а для вариации тензора второго ранга — выражения

Соответствующие формулы справедливы, в частности, и для вариации Отметим еще, что для любой системы симметричных величин из (72) следует соотношение

(причем, как обычно, ). Из (73) следует гакже, что

В (163) и (164) речь идет о вариациях

существенно отлична от них вариация

Она связана с предыдущей символическим соотношением

откуда непосредственно получаются выражения для и т. д. Из (164) и (167) имеем важную формулу

или на основании (150а)

Рассмотрим теперь вариацию интеграла

Имеем

и так как

то на основании (162)

причем Если исчезают на границе области интегрирования, то второй член в правой части (170) исчезает, так как он на основании (139 а) может быть преобразован в поверхностный интеграл. Если J — инвариант, т. е. — скалярная плотность, то вариация (170) исчезает для любого Установив сначала общее выражение для при произвольной вариации тензоров поля, из которых образована , и образуя затем по (164) вариацию последней специально для бесконечно малого изменения системы координат, получают из (170) некоторые тождества. Можно в некоторых случаях принять, что исчезает на границах области интегрирования, и это упрощает вычисления. Разъясним это на следующих примерах, которые понадобятся для последующих физических приложений.

а. Образуем из вектора при помощи операции бивектор

    (171)

а из него инвариант

Если — скалярная плотность, соответствующая , то можно из интегрального инварианта

получить выражение, важное для пондеромоторных сил в электродинамике. Ограничимся при этом такими вариациями полей и координат, который исчезают на границе области интегрирования. Считая вначале по зависимыми переменными, образуем вариацию и упомянутого рода. Простые вычисления на основании дадут

где для краткости положено

Интегрируя но частям, получаем

где

причем

Займемся теперь получением (при помощи бесконечно малого преобразования координат) вариаций это достигается на основании (170) тем, что и (174) заметит на поскольку исчезают на границе области. Учтя (163) и (168), получим сначала

и затем, интегрируя по частям, на основании (169) и (170 а) найдем

Так как последнее выражение должно исчезать для произвольного то

или иначе,

Это тождество будет использовано в § 30 и 54.

начинаться с описания методов наблюдения — истинных или мыслимых, при помощи которых должны быть установлены координаты. Подобное ограничение свободы исследователя не представляется обоснованным, и одна аналогия, заимствованная из механики Ньютона, может прояснить этот вопрос. Хорошо известно, что механическую систему в механике Ньютона зачастую можно описывать с помощью уравнений Лагранжа, что приводит к большим преимуществам. Но уже в самих этих уравнениях используются обобщенные координаты, для выбора которых не дается никакого правила. Можно даже утверждать, что ценность метода Лагранжа заключается как раз в отсутствии подобных правил. Когда дело доходит до применений уравнений Лагранжа к конкретной физической ситуации, исследователь, разумеется, приписывает обобщенным координатам физический смысл, однако зачастую он может сделать это многими способами. Такая же процедура используется в общей теории относительности: в каждой рассматриваемой физической ситуации мы a posteriori приходим к интерпретации четырех координат события, не считая эту интерпретацию заранее существенным элементом теории.

Следующим шагом является изображение или представление всех рассматриваемых событий в виде точек в. четырехмерном римановом пространстве, которое обладает следующими двумя свойствами:

а) тензор Римана — Кристоффеля и тензор Риччи имеют ненулевое значение по крайней мере в одной точке пространства;

б) когда вблизи некоторого события введены локальные декартовы координаты, метрика принимает вид

    (4.101)

другими словами, риманово пространство таково, что оно „локально" совпадает с пространством-временем Минковского. Это не имеет места для произвольного четырехмерного риманова пространства, и поэтому пространство, принадлежащее подклассу используемых в общей теории относительности, мы будем называть римановым пространством-временем по аналогии с пространством-временем Минковского

специальной теории относительности. Требование (а) утверждает, что риманово пространство-время является искривленным и его метрика в координатах ) имеет вид

    (4.102)

Теперь должно быть специализировано распределение вещества, история которого была изображена таким образом. В качестве общего руководящего соображения используется принцип ковариантности или принцип эквивалентности; он утверждает, что не существует привилегированных координатных систем, так что исследователь может произвольно выбрать любую такую систему, по существу не меняя используемых им уравнений. Для обеспечения этого следует использовать тензоры и тензорные уравнения, и ниже этот принцип будет применен к описанию распределения вещества; § 3.8 подсказывает, как это может быть сделано при условии, что вещество считается идеальной жидкостью. В каждой точке-событии риманова пространства-времени жидкость будет описываться 4-вектором скорости и, скалярной плотностью и скалярным давлением , причем все шесть величин рассматриваются как функции от четырех координат этого события. Если в данной точке-событии вещество отсутствует, то и равны в этой точке нулю. 4-вектор скорости является единичным вектором, и поэтому всилу формулы (2.213) удовлетворяет соотношению

    (4.103)

тогда как тензор энергии жидкости по определению равен

Этот тензор имеет те же свойства симметрии, что и тензор (3.804) специальной теории относительности, а ковариантная и смешанная формы этого тензора аналогичны выражениям (3.806) и (3.807). Тензор энергии в специальной теории относительности удовлетворяет четырем уравнениям (3.805), которые утверждают, что векторная дивергенция тензора энергии равна нулю. Следовательно, они являются тензорными уравнениями и могут быть применены к любому риманову пространству-времени с метрикой (4.102). Поскольку,

однако, метрические коэффициенты уже не являются постоянными, равенство нулю векторной дивергенции выражается теперь с помощью формулы (2.407) посредством соотношения

    (4.105)

Последние четыре уравнения можно рассматривать как обобщение уравнений Ньютона (3.202) и (3.203) на случай общей теории относительности.

Риманово пространство-время, используемое для распределения вещества, должно быть теперь связано с физическими характеристиками этого распределения. Мы будем рассматривать тензор энергии распределения вещества как краткую сводку этих физических характеристик. Мы уже отметили, что векторная дивергенция этого тензора равна нулю. Так как наиболее существенные черты риманова пространства-времени определяются его метрическим тензором, возможная взаимосвязь между распределением вещества и свойствами пространства может быть получена приравниванием тензора энергии некоторому тензору, который зависит от метрического и также имеет равную нулю векторную дивергенцию. Этим свойством обладает тензор Эйнштейна, и мы постулируем, что риманово пространство-время, которое представляет распределение вещества с тензором энергии обладает метрическим тензором, удовлетворяющим десяти уравнениям

    (4.106)

где - некоторый коэффициент пропорциональности, подлежащий определению в дальнейшем. Эти уравнения

известны под названием уравнений Эйнштейна; опуская индексы, мы можем записать эти уравнения в эквивалентных видах

    (4.107)

В силу (2.703), имеем

    (4.109)

откуда видно, что уравнения (4.106) — (4.108) автоматически удовлетворяют четырем уравнениям (4.105).

В некоторой точке-событии, или в совокупности точек-событий, где тензор энергии равен нулю, уравнения Эйнштейна принимают более простой вид

Свертывая, получаем и уравнения Эйнштейна могут быть написаны в одной из следующих форм:

    (4.110)

Наконец, если космологическая постоянная равна нулю, то (4.110) принимает вид

    (4.111)