§ 55. Вариационные принципы для материальных процессов при наличии гравитационных полей

Как впервые показал Гильберт [296], тензор энергии-импульса очень просто связан с функцией действия, что отчетливо проявляется лишь в общей теории относительности. Мы покажем это на примере вариационного принципа механики — электродинамики (см. § 31), который запишем в форме Вейля (231а):

Этот вариационный принцип остается справедливым и в

поле тяготения [109, 110, 294], если не варьировать величин . (Варьируются опять независимо друг от друга мировые линии материальных точек и потенциал поля )

Нечто повое будет, если варьировать Мировые линии вещества и потенциалы мы теперь оставляем неизменными. В этом случае, согласно § 23, а, первый интеграл вносит слагаемое

второй интеграл не вносит ничего (т. е. равен нулю) и третий

Поэтому в итоге

    (399)

Таким образом, тензор энергии-импульса материи получается варьированием -поля в интеграле действия [296]. Это правило справедливо всегда, а не только в рассмотренном случае. Для тензора упругой энергии это было показано Нордстремом [295] (о теории Ми см. гл. V, § 64).

Связь между тензором энергии импульса материи и функцией действия, которая здесь обнаруживается, оказывается исключительно важной для применения в общей теории относительное и принципа Гамильтона (см. § 57). Далее, если для принять просто вариацию получающуюся варьированием координатной системы, для которой тождественно равно нулю (§ 23), то на основе (169) можно сделать следующее общее утверждение: во всех тех случаях, когда законы поля для материальных процессов могут быть выведены из вариационного принципа, а тензор энергии получается из интеграла действия путем варьирования -поля описанным образом, закон сохранения энергии-импульса (341а) является следствием этих законов поля. Для этого заключения существенно, что члены, получающиеся благодаря вариации переменных, характеризующих состояние материи, исчезают вследствие принципа Гамильтона.