§ 42. Общая динамика

Соотношения теории станут еще проще и нагляднее, если перейти от полного импульса и полной энергии к плотностям импульса и энергии. В § 30 (см. (225)) мы видели, что электромагнитная четырехсила может быть выражена через дивергенцию тензора напряжений Естественно попытаться обобщить это положение на силы любого вида. Можно доказать, что это действительно так, поскольку мы знаем, что все силы (упругости, химические и т. д.) сводятся к электромагнитным (от тяготения мы здесь отвлекаемся). Исключение составляют лишь силы, с которыми движущиеся электроны и протоны действуют сами на себя (см. гл. V). Поэтому мы поступим так: в выражении (222) для тензора энергии-импульса разделим тензор поля на части, связанные с отдельными заряженными частицами; при этом тензор распадается на две части, одна из которых состоит из произведений компонент поля различных частиц, другая — из произведений компонент поля одной и той же частицы. Мы будем рассматривать только первую часть описывающую взаимодействие между частицами. Если теперь образовать дивергенцию, то мы получим только силы, с которыми частицы действуют друг на друга. Мы можем, таким образом, написать

и согласно (322) и (324):

Материя, таким образом, может характеризоваться тензором энергии-импульса дивергенция которого равна нулю:

Как и в (224), пространственные компоненты представляют собой напряжения и могут также рассматриваться как компоненты потока импульса; остальные компоненты определяют плотность импульса g, поток энергии S и плотность энергии

Мы представили здесь тензор энергии-импульса как сумму механического и электромагнитного. О попытках свести механическую часть к электромагнитной см. гл. V. Для дальнейших чисто феноменологических рассуждений природа тензора энергии-импульса несущественна, важно только само его существование. С исторической точки зрения заметим, что существование подобного тензора для механической (упругой) энергии впервые указано Абрагамом и окончательно сформулировано Лауэ [213]. Симметрия тензора энергии-импульса гарантируется сведением его к механическому и электромагнитному тензорам; раньше она устанавливалась с помощью специального постулата. Из симметрии тензора может быть получено одно важное следствие. Именно, из того, что согласно (342) получаем

Это — высказанный впервые Планком [214] закон импульса потока энергии, вследствие которого любой поток энергии связан с импульсом. Этот закон можно рассматривать как расширенную формулировку закона инертности энергии. В то время как последний относится ко всей энергии, первый сообщает также нечто и о локализации энергии и импульса.

Так же как в § 30, из (314) можно заключить, что полная энергия и полный импульс замкнутой системы образуют четырехвектор:

Формулы (228) здесь также справедливы. Из них непосредственно вытекает инерционность любой формы

энергии, в частности потенциальной. Заметим еще раз, что аддитивная постоянная, входящая в выражение для энергии, выбрана так, что энергия покоящегося электрона раина Только тогда в общем случае

Из (341) обычным способом 1215] вытекает также сохранение момента импульса:

Для справедливости закона сохранения момента импульса (вращательного импульса) существенна симметрия пространственных компонент тензора Если потребовать наличие этой симметрии в любой системе координат, то отсюда следует также симметрия смешанных компонент, которая обусловливает выполнение закона сохранения импульса потока энергии