§ 64. Теория Ми

Первая попытка построения теории, объясняющей существование электрически заряженных элементарных частиц, была предпринята Ми [345]. Он поставил перед собой задачу так обобщить уравнения поля и тензор энергии-импульса теории Максвелла — Лоренца, чтобы внутри элементарных заряженных частиц кулоновские силы отталкивания уравновешивались другими силами также электрического происхождения, а вне частиц отклонения от обыкновенной электродинамики были незаметны.

Ми оставляет неизменной первую систему уравнений Максвелла (см. § 28):

из которой вытекает существование 4 потенциала

Далее, во всяком случае, должно выполняться уравнение непрерывности для 4-тока

Отсюда следует, что существует бивектор

удовлетворяющий уравнению

При этом связывает воедино векторы D и Н так же, как связывает векторы Е и В. Очевидно, что если то эти уравнения переходят в уравнения обыкновенной электродинамики, и что они по форме совпадают с уравнениями феноменологической электродинамики в материальных телах.

Но эти уравнения поля приобретают новое физическое содержание благодаря следующему решающему положению: величины должны быть универсальными функциями

Первые шесть соотношений существенно отличаются от соответствующих формул феноменологической электродинамики тем, что в них явно входят . В теории Ми имеют реальпый смысл не только разности потенциалов, но и их абсолютные значения. Уравнения теории не остаются неизменпыми, если заменить на . Ниже мы увидим, что этой причипе в теории Ми появляется серьезное затруднение. Четыре последних уравнения (467а) важны для установления факта существования и законов движения материальных частиц (электрона и протона). Ми называет, более или менее произвольно, интенсив постными величинами, a s и НЛ — величинами количественными.

Уравнения (467а) вводят в теорию не менее десяти универсальных функций. Однако, как нашел принцип энергии обусловливает и здесь большое упрощение, так как позволяет свести десять неизвестных универсальных функций к одной единственной функции. Именно, оказывается, что из (206) и (467) только тогда вытекает уравнение вида

( — плотность энергии, S — поток энергии), когда существует инвариант (сперва относительно группы Лоренца) из которого и s получаются путем дифференцирования:

так что

Простой расчет показывает тогда, что уравнения вытекают из вариационного принципа

при условии, что соотношения (206) справедливы и для варьированного поля.

О виде инварианта L, который часто называют мировой функцией, можно сделать некоторые общие высказывания. Независимые инварианты, которые можно образовать из бивектора и вектора таковы:

1) квадрат бивектора

2) квадрат вектора

3) квадрат вектора

4) квадрат вектора или, что же, квадрат тривектора

Поэтому L должно зависеть только от этих четырех инвариантов (см. примеч. 20). Если L равно первому из указанных инвариантов, то уравнения поля Ми вырождаются в обыкновенные уравнения электронной теории для пространства без зарядов. Таким образом, L может заметно отличаться от только внутри материальных частиц. Дальнейших высказываний о мировой функции L сделать уже нельзя. Нельзя сузить число возможностей настолько, чтобы однозначно прийти к определенному выбору мировой функции. Напротив, для выбора L остается бесконечное число возможностей.

Мы должны теперь найти тензор энергии-импульса как функцию переменных поля. Соответствующие вычисления чрезвычайно упрощаются, если согласно Гильберту [108] и Вейлю [347] записать уравнения поля Ми в форме, удовлетворяющей общей теории относительности, а затем применить метод вариации величин (см. § 55). Только в этом случае формальные соотношения становятся понятными. Выше мы уже учли это обстоятельство, используя форму записи, отличную от применявшейся который в своих работах 1912 и 1913 г., конечно, стоял на почве специальной теории относительности. Прежде всего, так же как в обыкновенной электродинамике (см. § 54), система уравнений (203), (208)

сохраняется в любом -поле. Напротив, уравнения (197) и (467) заменяются такими:

Заметим вместе с Вейлем, что теперь «количественные» величины имеют характер тензорных плотностей, т. е. умножены на в то время как «интенсивностные» величины остаются обыкновенными тензорами. Соотношения (468), (468а) и принцип Гамильтона (469) также сохраняются; последний может, конечно, быть записан в виде

Для нахождения тензора Та мы должны только определить вариацию функции действия при варьировании -поля. Поскольку здесь L не зависит от производных мы должны, при условии постоянства электромагнитного поля, просто иметь

и, следовательно,

Если, с другой стороны, в общее выражение

вытекающее из (468а), подставить такие частные вариации переменных поля, которые получаются при бесконечно малых преобразованиях координат, то должно тояедественно обращаться в нуль (см. (163), (164)); таким образом, должно иметь место тождество

что возможно, лишь если выражение в скобках само тождественно равно нулю. Подставляя получающееся отсюда значение в (470), получаем окончательно

Из вывода следует, что соответствующие ковариантные компоненты симметричны. Далее, на основании результатов § 55 можно сразу заключить, что закон сохранения энергии и импульса, имеющий в отсутствие гравитационных полей вид

а при наличии гравитационных полей вид

является следствием уравнений поля. Выражение (470) для тензора энергии-импульса идентично полученному Ми путем прямого вычисления.

Возвратимся теперь к вопросу о законе движения и возможности существования материальных частиц. В обыкновенной электродинамике напряженность электрического поля определяется как сила, действующая на (покоящийся) единичный заряд. Этот простой смысл напряженности поля в теории Ми внутри материальных частиц сохраняется; напротив, пондеромоторная сила везде равна пулю. Несмотря на это, практическое значение полного заряда частицы сохраняется. Действительно, рассмотрим заряженную элементарную частицу, находящуюся во внешнем поле. Для этого случая из (341) следует

( — единичный вектор в направлении нормали к поверхности). Второй интеграл мы будем брать по достаточно удаленной от частицы поверхности. Поскольку на этой поверхности справедлива обыкновенная электродинамика, поверхностный интеграл имеет то же значение, что и в электронной теории, т. е. равен силе Лоренца. Таким образом, теория Ми дает электродинамическое обоснование закона движения (210) для электрона. Одновременно мы видим, что масса покоя то материальной частицы определяется в согласии с законом инертности энергии выражением

Для нужно подставить выражение, вытекающее из (470).

Ми считает поле покоящегося электрона статическим и сферически-симметричным. Последнее предположение, правда, как показано в предыдущем параграфе, не обосновано экспериментально, но принимается ввиду его простоты. Теперь нужно найти решения уравнений поля, которые везде, и в частности при регулярны. От мировой функции, соответствующей действительности, мы должны требовать, чтобы для каждого сорта заряженных частиц она имела только одно такое решение. Мировая функция, удовлетворяющая этому требованию, еще не найдена. Напротив, обсуждавшиеся до сих пор предположения о виде L приводят к противоречащему опыту результату. о возможности существования элементарных частиц с произвольным полным зарядом. Отсюда еще, однако, не следует, что электродинамика Ми должна быть отброшена, так как еще не доказано, что нельзя найти мировой функции, приводящей к существованию определенных элементарных частиц.

Значительно более серьезную трудность, по-видимому, представляет следующее обстоятельство, отмеченное еще . Если найдено решение для электростатического потенциала некоторой элементарной частицы, то уже решением по будет, так как в уравнения поля Ми входят абсолютные значения потенциалов. Поэтому материальные частицы оказываются неспособными к существованию в постоянном внешнем потенциальном поле. Это обстоятельство представляется нам очень веским возражением против теории . В обсуждаемых ниже других теориях подобная трудность не возникает.

Следует еще упомянуть попытку Вейля истолковать на основе теории Ми асимметрию (различие масс) двух родов электричества (см. примеч. 21). Если L не является рациональной функцией то можно положить

где w — любая нечетная функция. Тогда уравнения поля оказываются в статическом случае неинвариантными

относительно замены (положительного электричества отрицательным). Вообще, если L является многозначной функцией указанных выше инвариантов, то представляется возможным выбрать в качестве мировых функций для положительного и отрицательного зарядов различные однозначные ветви этой функции (см. об этом еще в § 67).