§ 61. Энергия гравитационного поля

В § 54 уже говорилось, что при наличии гравитационного поля дифференциальные законы для тензора энергии не принимают той формы, которую они имеют в специальной теории относительности:

а имеют вид

Поэтому для замкнутой системы из них не следует закон сохранения

Однако в § 57 мы показали, что вследствие уравнений

гравитационного поля (401), закон сохранения энергии и импульса (341а) имеет своим следствием систему уравнений

где величины определены соотношениями (405), (183) а (185). Из этой системы уравнений для замкнутой системы вытекают законы сохранения

Поэтому Эйнштейн называет систему величин компонентами энергии гравитационного поля, , — полным импульсом и полной энергией замкнутой системы (см. § 57).

При более близком рассмотрении появляются, однако, большие затруднения, которые на первый взгляд противоречат подобному пониманию. В конечном счете эти затруднения проистекают из-за того, что величины не образуют тензора. Поскольку эти величины не содержат производных от выше первого порядка, можно сразу заключить, что при подходящем выборе координат (в геодезической системе отсчета) они могут быть сделаны равными пулю в любой заданной мировой точке.

По, более того, как обнаружил Шредингер [324], для поля материальной точки, которое совпадает с полем вне жидкого шара, все компоненты энергии тождественно исчезают. Этот результат может также быть получен и в случае поля (435) заряженного шара.

С другой стороны, Бауэр [325] показал, что в результате простого введения полярных координат в евклидов линейный элемент специальной теории относительности компоненты энергии принимают значения, отличные от нуля, и при этом полная энергия даже бесконечна! Кроме того, компоненты отнюдь не симметричны, а плотность энергии не, всюду положительна. Именно знак плотности энергии гравитационного поля вызывал затруднения еще в старых теориях тяготения.

Несмотря на эти затруднения с физической точки зрения, трудно отказаться от требования существования аналогов интегралов энергии и импульса теории Ньютона. Поэтому Лоренц [109] и Леви-Чивига (см. [314], с. 381)

предложили считать компонентами энергии не величины а величины Тогда из (401) получаем

а также

Эйнштейн [318] справедливо возразил, что при таком определении гравитационной энергии полная энергия замкнутой системы всегда была бы равна нулю и сохранение этого значения энергии не требует продолжения существования системы в каком бы то было виде. Таким образом, мы не смогли бы извлекать из законов сохранения таких следствий, к каким мы привыкли. В ответе на статью Шредингера Эйнштейн [326] смог далее показать, что при взаимодействии многих масс заведомо не исчезает везде.

Окончательное разъяснение вопроса принесла работа Эйнштейна «Закон энергии в общей теории относительности» [326]. Здесь было дано доказательство того, что выражения (447) для полной энергии и полного импульса замкнутой системы в значительной степени не зависят от координатной системы, хотя локализация энергии в различных системах координат, вообще говоря, осуществляется соиершенно по-разному. Это доказательство было затем дополнено Клейном [327] (см. § 21). Таким образом, мы должны отказаться от придания физического значения самим величинам другими словами, нельзя провести локализацию энергии и импульса в гравитационном поле общековариантным и физически удовлетворительным способом. Интегральные величины (447) имеют тем не менее определенный физический смысл. Значение уравнения (406) заключается лишь в том, что оно позволяет простым способом вычислять изменение энергии материи в замкнутой системе.

Доказательство пнварпаптиостц величин определяемых соотношениями (447) при определенных, указанных ниже преобразованиях координат, проводится очень просто. Пусть дана ограниченная замкнутая система. Пусть вне некоторой области В этой системы линейный элемент будет таким же, как в специальной теории

относительности (в галилеевой системе). Будем рассматривать только такие системы К, которые вне области В совпадают с галилеевой. Поэтому, например, полярные координаты исключаются. Тогда подынтегральное выражение (447) исчезает вне мировой трубки В и все предложения § 21 выполнены. Из сказанного там следует, что, во-первых, интегральные значения энергии и импульса не зависят от выбора координат внутри В, если Только эти координаты непрерывно переходят в галилеевы координаты вне В; во-вторых, величины ведут себя относительно линейных преобразований координат (причем теперь координаты изменяются и вне В) как ковариантные компоненты вектора. (Об аналогичном законе в случае пространственно-замкнутого мира см. следующий параграф.)

Остается еще обсудить вопрос о том, определяются ли однозначно величины с помощью уравнений (406), т. е. выяснить, нет ли еще других величин w, кроме заданных выражениями (405), (183) и (185) величин которые тождественно удовлетворяют уравнениям (406) вследствие уравнений поля (401). Как показал впервые Лоренц [109] и как отметил также Клейн [113], это действительно так, если допустить, что могут содержать также вторые производные . Сказать что-либо против этой возможности, исходя из физических соображений, нельзя. Конечно, для полной энергии системы получаются различные значения в зависимости от того, кладем ли мы в основу величины Эйнштейна или величины Лоренца.

Эйнштейн [318] указал на важное применение уравнения (406) к излучению и поглощению гравитационных волн, поле которых было установлено в § 60. Если в материальной системе происходят колебания или другие движения, то из теории следует, что система излучает волны. Излучение при этом определяется третьими производными по времени от ее момента инерции

Поток энергии волн, излучаемых вдоль оси равен

(к — обыкновенная гравитационная постоянная), а полная энергия, излучаемая по всем направлениям в единицу времени, равна

Последнее выражение, согласно (449), всегда положительно. Излучаемая энергия так мала, что не приводит ни к каким астрономическим эффектам, заметным в доступных рассмотрению промежутках времени. Она имеет, однако, принципиальное значение для атомной физики. Эйнштейн полагал, что квантовая теория должна будет видоизменить и теорию тяготения.

Аналогично вычисляется поглощаемая энергия. Так, если гравитационная волна типа (444), (445), (446) падает вдоль оси на материальную систему, размеры которой малы по сравнению с длиной падающей волны, то в единицу времени поглощается энергия

где величины относятся к волновому полю (см. примеч. 17).