§ 34. Вывод макроскопических уравнений из электронной теории

Поскольку уравнения электронной теории ковариантны относительно группы Лоренца и для неподвижных тел приводят при усреднении к уравнениям Максвелла, они должны для движущихся тел приводить к уравнениям Минковского. Борн [171] (см. также [172]), основываясь на записках, оставленных Минковским, действительно смог это показать, причем он рассматривал движение электронов как варьированное движение материи. Из первой вариации получается электрическая поляризация, из второй — следующая часть электрической поляризации и магнитная поляризация.

Оставалось выяснить, почему Лоренц ([166], V, 14, гл. IV) пришел на основе электронной теории к уравнениям, отличным от уравнений Минковского. Для немагнитных

тел, как показал еще Ф. Франк [173], это объясняется тем, что не было принято во внимание лоренцево сокращение и замедление времени. Деленбах [174] естественным образом придал ходу рассуждепий Лоренца четырехмерную форму, применимую притом к случаю любых движущихся тел. Тензор определяется как среднее значение микроскопического тензора поля вектор тока — как среднее значение выражения (индексы С и К соответствуют электронам проводимости и конвекционным зарядам). Средние значения распространяются на «физически бесконечно малый» объем четырехмерного мира. Согласно (208) речь идет главным образом о том, чтобы найти среднее значение поляризационного тока . Путем рассмотрения, вполне аналогичного проведенному Лоренцем, но с заменой везде пространственных областей мировыми, можно показать, что

где вначале определено соотношением

Поскольку, однако, средние значения величин

равны нулю, можно положить

Если определить теперь соотношениями

то (271) получается из (208) путем образования среднего значения. Если скорость электронов поляризации относительно центра масс молекулы мала по сравнению со скоростью света, то бивектор равен:

где Р и М — определяемые обычным способом электрическая поляризация и намагниченность:

(средние берутся но времени, N — число молекул в единице объема, и — скорость электронов, сумма распространена на все электроны молекулы, v — скорость вещества).

Определение (см. (284)) с учетом (267) и (268) тогда таково:

Из (285) следуют формулы преобразования

Если в системе К электрически неполяризованное тело намагничено, то в системе К оно, кроме того, электрически поляризовано, если в К ненамагниченное тело поляризовано, то в К оно также и намагничено (см. Lorentz [167]). Таким образом, невозможно достаточно ясно различить электроны намагничения и электроны (электрической) поляризации, и мы поэтому выше и те и другие называли электронами поляризации. В справедливости формул (285 а) можпо убедиться и без применения тензорного анализа, на основе определения Р и М. Если среда такова, что в сопутствующей системе К

то из ковариантности этих соотношений относительно преобразований Лоренца немедленно следуют тензорные соотношения:

    (286)

переходящие в (280) с помощью (284). Вьтражеппя (286) можно записать также еще и так:

Теперь остается лишь теоретически обосновать формулы преобразования плотности заряда и тока проводимости. Если — числа положительных и отрицательных частиц в единице объема и их скорости, то по определению:

и в системе К:

Введением систем , в которых положительные и соответственно отрицательные заряды покоятся, находим с помощью теоремы сложения скоростей:

где индексы плюс и минус опущены, так как для них формулы одинаковы. Отсюда и из инвариантности заряда следуют сразу формулы (276) и (277). В частности, таким образом получено электроино-теоретическоо объяснение замечательного факта появления заряда в движущемся проводнике с током (Lorentz [167]).