§ 32. Применения к специальным случаям

а. Интегрирование уравнений для потенциалов. Как известно, дифференциальные уравнения (207) и (209), если s заданы как функции пространства и времени, имеют решения вида (см. [132], § 5, уравнения (XI) и )

В этих выражениях для потенциалов не использована симметрия дифференциальных уравнений относительно пространственных и временных координат. Последнее имеет, однако, место в найденном Герглотцем [155] еще до создания теории относительности методе, отправным пунктом которого является частное решение уравнений (209): где теперь Р и Q — две мировые точки, четырехмерное расстояние между ними. Путем умножения на подходящую функцию и интегрирования по контуру, окружающему луч в комплексной плоскости, Герглотц получил обычное выражение для потенциалов. Преимущество этого метода заключается в том, что при вычислении напряженностей поля можно сперва дифференцировать, а потом уже проводить интегрирование

по контуру, вследствие чего расчет делается более наглядным. Под влиянием теории относительности Зоммерфельд [156] позже модифицировал и развил метод Герглотца.

Для точечного заряда (273) переходит в формулу для потенциалов Лненара — Вихерта ([132], § 17, уравнение (70))

где есть вектор, соединяющий точку, в которой находится заряд в момент с точкой Р, Этот вектор, согласно Минковскому ([64], III), имеет простой смысл в рамках четырехмерной интерпретации. Пусть

есть мировая линия заряда как функция его собственного времени, а Р, как и раньше, мировая точка наблюдения. Проведем через Р ту полость мирового конуса, которая направлена в прошлое. Мировая линия заряда пересекает его в определенной точке Q и при этом в одной единственной точке, если направление линии всегда времениподобно. Если суть координаты точки наблюдения Р и

то из требования

точка Q, а значит, и соответствующее значение , определены как однозначные функции от

Выражения (238) для потенциалов на основании (205) и (190) можно теперь записать в виде одного соотношения:

Вычисление напряженностей поля существенно упрощается вследствие введения собственного времени. Из (241) находим сперва производные от функции (242) по координатам точки Р:

Дальнейший расчет совершенно элементарен и дает

Если в точке наблюдения поместить второй заряд скорость которого равна то из (216) получаем силу К, с которой первый заряд действует на второй. Для силы Минковского — чотырехмерного вектора, определенного выражением (219), получаем

Зоммерфельд вывел как выражение (238 а), так и выражения (244) и (245) путем комплексного интегрирования с помощью упоминавшегося выше метода. Формула (245) совпадает с полученным Шварцщильдом [157] выражением для «элементарной электродинамической силы» (см. также [132], § 25).

р. Ноле равномерно движущегося точечного заряда. Поскольку электронная теория находится в согласии с теорией относительности, последняя при определении поля заданным образом движущегося электрона не может приводить к результатам, отличным от известных ранее в дорелятивистской теории Лоренца. Правила преобразования напряженностей поля избавляют, однако, от необходимости прибегать к дифференциальным уравнениям или к общим формулам (244), если только поле известно для одной определенной системы координат. Если, например, нужно найти поле заряда, равномерно движущегося в системе К, то сперва можно найти его поле в системе К, относительно которой заряд покойся:

из (204) немедленно получаем

Если обозпачнть вектор, конец которого находится в точке наблюдения, а начало — в точке, где находится в тот. же момент времени относительно системы К заряд, то

Напряженность электрического поля и здесь направлена по радиусу, а напряженность магнитного поля перпендикулярна к радиус-вектору и направлению движения. Поверхностью равных (по абсолютной величине) напряженностей электрического поля в движущейся системе является не сфера, а эллипсоид Хевисайда, введенный Хевисайдом (см. [132], § 11, b) в электродинамику еще в 1889 г. Этот эллипсоид — просто та поверхность, в которую сфера переводится преобразованием Лорепца.

Поле (246) может быть также получено и из общей формулы (244). Для этого введем вектор X, перпендикулярный к прямолинейной в нашем случае мировой линии заряда, начинающийся на этой мировой линии и кончающийся в мировой точке наблюдения. В покоящейся системе К его компоненты равны Далее легко получаем

Поэтому

f. Поле заряда, совершающего гиперболическое движение. Простейшим движением после равномерного является «-ускоренное, т. е. в теории относительности — гиперболическое движение (см. § 26). Поле заряда, совершающего гиперболическое движение, впервые было определено Борном [126]. Зоммерфельд [127] применил для его вычисления комплексное интегрирование. Элементарное изложение имеется также у Лауэ [158].

Поместим начало координат в центр гиперболы и при этом совместим плоскость гиперболы с плоскостью Точка

мировой линии (196 а) заряда, относящегося согласпо (241) к точке наблюдения определяется соотношениями

Здесь положено

Компоненты четырехмерного потенциала равны

В системе, в которой заряд в момент покоится, исчезает в момент t. В системе, в которой мировая точка наблюдения одновременна с центром гиперболы, напряженности поля равны (вместо пишем у):

Гиперболическое движение выделяется, таким образом, также тем, что оно не связано с образованием волновой зоны и соответствующего излучения. Напротив, если два прямолинейных равномерных движения переводятся одно в другое с помощью гиперболического движения, то излучение имеет место.

Возможно ввести для вычисления поля в случае гиперболического движения заряда систему отсчета, движущуюся с зарядом и, таким образом, не галилееву. В качестве координаты х в этой системе можно ввести величину, обозначенную выше , а в качестве времени — угол Ф, совпадающий с точностью до некоторого множителя с собственным временем движущегося заряда. Линейный элемент в этой системе равен

Уравнения поля в таких координатах легко могут быть написаны при помощи методов, изложенных в гл. II. Проблема при этом оказывается статической, однако, не одномерной, и расчеты существенно не упрощаются. С исторической точки зрения интересно, что еще Борн [126] рассматривал задачу с точки зрения сопутствующей системы отсчета. Вводившийся им временной параметр отличен от примененного выше; дифференциальные уравнения он получал с помощью ранее сформулированного им инвариантного вариационного принципа (см, § 31).

б. Инвариантность фазы света. Отражение от движущегося зеркала. Давление света. В § 6 из требования инвариантности фазы световой волны были получены релятивистские формулы для эффекта Доплера и аберрации. Обоснование упомянутого требования непосредственно следует из формул преобразования для напряженностей поля. Поскольку фаза плоской волны является линейной функцией пространственно-временных координат, ее можно записать в виде

скалярного произведения:

где U — четырехмерный волновой вектор и к — трехмерный волновой вектор, направление которого совпадает с нормалью к волне, а величина равна . Если, в частности, нормаль к волне параллельна плоскости то

    (252 а)

В вакууме U есть нулевой вектор. Формулы преобразования (15) и (16) § 6 получаются непосредственно. На основании соотношений (204) они могут быть дополнены формулой преобразования для амплитуды А [15]

Учитывая также преобразование объема V, ограничивающего с боков конечный волн:

находим для полной энергии снова формулу (299 а) [15]. Из сравнения с (15) мы видим, что энергия и амплитуда преобразуются точно так же, как частота, а объем преобразуется обратным образом:

Первое из этих соотношений Эйнштейн [15] отмечает особо; с ним связан закон смещения Вина.

В тесной связи с формулами преобразования для частоты и направления плоской волны при переходе к движущейся системе отсчета находятся законы отражения света от движущегося зеркала, которое считается идеально проводящим и плоским. Эти законы могут быть, очевидно, сведены к законам для неподвижного зеркала путем введения системы К, движущейся с зеркалом [15]. И в этом случае теория относительности может внести новое только в отношении самого вывода, но не его результатов. Формулы старой теории здесь даже строго

справедливы, так как все входящие в них величины измеряются масштабами и часами одной и той же системы отсчета и, следовательно, лоренцево сокращение и замедление хода часов не могут повлиять на результаты расчета.

Обозначим измеренные в системе К углы между нормалями к падающей и отраженной волнам и скоростью зеркала, — соответствующие углы в системе — частоты падающей и отраженной волн в — соответствующие частоты в К. Если зеркало движется параллельно его плоскости, то и из (15) и (16) следует, что и Таким образом, в этом случае закон отражения не отличается от закона отражения для неподвижного зеркала. Отсюда ясно, что интерес представляет лишь компонента скорости зеркала в направлении нормали к нему. Поэтому далее мы можем принять, что зеркало движется нормально к его собственной плоскости; скорость зеркала v будем считать положительной в направлении внутренней нормали, так же накосх и суть теперь углы падения и отражения и, очевидно,

Из (15) и (16) следует, что

Далее,

откуда получаем

и

Очень изящный способ вывода этих формул предложил Бэйтмен [160], Чтобы получить в К фазу отраженной волны из фазы падающей, нужно просто заменить х на Это есть вместе с тем зеркальное отражение. Чтобы получить искомое преобразование в К, нужно сперва перейти к системе К путем мнимого поворота на угол затем поменять знак после чего с помощью поворота на вернуться в систему К. Эти операции эквивалентны одному вращению на угол и последующему отражению оси

Если положить

то, согласно (187),

и переход от «предмета» к «изображению» в движущемся зеркале осуществляется преобразованием

Одна точка движущегося зеркала, для которой преобразуется сама в себя если предмет движется с той же скоростью, что и зеркало то то же самое имеет место в отношении изображения как это и должно быть. Изображение точки, покоящейся в К, движется со скоростью U, которую можно также получить с помощью теоремы сложения скоростей для случая сложения Фаза волны, отраженной от движущегося зеркала, получается непосредственно из фазы падающей волны заменой (260), а соотношения (257), (257а) и (258) могут быть записаны в виде, совершенно аналогичном формулам (16а), (16) и (15), если еще заменить на вследствие отражения оси

Варичак [121] интерпретировал эти формулы с точки зрения геометрии Лобачевского — Больи.

Соотношения (254 а) позволяют сразу найти изменение амплитуды при отражении от движущегося зеркала:

Разность между выходящей и входящей в единицу времени через единицу поверхности энергиями должна быть равна работе светового давления в единицу времени ,([15], § 7). Отсюда определяется , которое оказывается совпадающим с полученным до теории относительности

Давление света есть инвариант. В § 45 будет показано, что это справедливо для любого давления.

. Излучение движущегося диполя. Поле осциллятора Герца содержится в (244) как частный случай. Если ограничиться рассмотрением поля в волновой зоне (т. е. на больших расстояниях), то можно не только отсчитывать от середины диполя, по и принять равным не скоростям отдельпых зарядов, а скорости середины диполя. Если обозначить v скорость диполя, а v ускорение колеблющегося заряда в момент векторы, проведенные соответственно из точек, где электрон находился в моменты и t, к точке наблюдения; — единичный вектор — вектор — угол между v и , то с учетом (241) получим

Теория относительности позволяет получить эти формулы, выведенные сначала Хевисайдом ([161], а также [132], § 14, с. 180), а затем подробнее Абрагамом [162] непосредственно из формулы Герца для поля покоящеюся диполя. Простейший способ состоит в том, что сперва по примеру Пуанкаре (см. [14], Rend. Pal., § 5) убеждаются в сохранении и в движущейся системе перпендикулярности Е и Н и каждого из них с а также в равенстве их значений. Это обстоятельство можно выразить с помощью инвариантных векторных уравнений

Затем нужно только вычислить плотность энергии с помощью формул преобразования для тензора

Вычислением с точки зрения теории относительности импульса и энергии излучения движущегося диполя занимался Лауэ [163]. Уравнения (228b) остаются здесь справедливыми, так как существование волнового поля не зависит от наличия зарядов. При учете замедления времени получаем отсюда выражение для энергии, излучаемой в единицу времени:

В покоящейся системе

и с помощью формул преобразования для ускорения (193) получаем сразу

в согласии с вычислениями Абрагама, основанными на поле вида (263). Излучаемая энергия аддитивно складывается из частей, связанных с продольной и поперечной компонентами

Если рассматривать процесс с точки зрения системы то оказывается, что скорость диполя в результате

излучения не меняется, оставаясь в К равной нулю. Однако вследствие инерции энергии закон сохранения импульса, несмотря на излучения импульса (264), не нарушается (см. § 41).

Реакция излучения. Если в рассматриваемый момент то сила реакции излучения равна ([132], § 20, с. 190, уравнение (74))

Лауэ [163] и Абрагам [164] независимо друг от друга получили отсюда преобразованием Лоренца выражение для силы реакции, действующей на движущийся заряд. Для этого нужно согласно (219) найти такой вектор три пространственные компоненты которого для совпадают с приведенным выше выражением для К, а четвертая компонента равна нулю. Для этой цели предположим, что

и определим а из условия

Учитывая (159) и (192), находим:

и, таким образом,

Абрагам [164] доказал также, что интеграл от К по времени излучения равен импульсу излученного света, а также что интеграл по времени от равен излученной энергии. При гиперболическом движении К исчезает, как и должно быть, так как в этом случае никакого излучения нет (см. выше, п. ).