§ 45. Гидродинамика и теория упругости

Релятивистская теория упругости исторически возг никла из попытки сделать пригодным и в теории относительности понятие твердого тела. Естественно, вначале нужно было искать такое определение твердого тела, которое инвариантно относительно преобразования Лоренца. Подобное определение было дано Борном [229]. Тело считается твердым тогда, когда в системе Ко, в которой определенный элемент объема тела в рассматриваемый момент покоится, этот элемент не деформирован. Аналитически это может быть сформулировано так: течение деформируемой среды мы будем описывать методом Лагранжа, т. е. зададим координаты как функции начальных координат и собственного времени

, или, из соображений симметрии, координаты

Элемент мировой линии

двух соседних пространственно-временных точек представляется тогда как квадратичная форма от дифференциалов

Если мы будем, в частности, рассматривать те мировые точки, которые одновременны для наблюдателя, сопутствующего в данный момент элементу объема, — эти точки удовлетворяют уравнению

( - 4-скорость), - то исключается из (353) и становится квадратичной формой пространственных дифференциалов:

Отклонения величин от их начальных значений характеризуют деформацию элемента объема. Для твердого тела эти отклонения должны всегда исчезать, т. е. мы должны иметь

    (356)

Простое рассуждение Эренфеста [230] показывает, однако, что подобное тело не может быть приведено во вращение. Если бы это было возможно, то с одной стороны, длина окружности, проведенной через точки тела, должна была бы уменьшиться вследствие лоренцева сокращения, а с другой стороны, ее радиусы, всегда перпендикулярные к скорости, не должны были бы изменяться. Далее, Герглотц [231] и Нетер [232] независимо друг от друга показали, что твердое (в смысле Борна) тело имеет только три степени свободы в противоположность шести степеням свободы твердого тела старой механики. Если отвлечься от некоторых особых случаев, то движение тела полностью определяется заданием движения одной его точки. Сказанное породило сильное

сомнение в возможности введения в релятивистскую механику понятия твердого тела (см. также [233]). Окончательное выяснение вопроса принесла работа Лауэ [234]. Путем вполне элементарных рассуждений Лауэ показал, что число кинематических степеней свободы любого тела согласно теории относительности не может быть ограниченным. Действительно, поскольку никакое действие не может распространяться со сверхсветовой скоростью, постольку толчок, сообщенный телу одновременно в различных местах, вначале всегда вызовет движение минимум с степенями свободы.

Если, таким образом, понятие твердого тела в релятивистской механике не имеет места, то тем не менее необходимо и естественно ввести понятие твердого движения тела. Твердым естественно называть такое движение, при котором условие Борна (356) выполнено. Герглотц [235] разнил поэтому релятивистскую теорию упругости, базирующуюся на предположении, что напряжения всегда возникают, когда условия Борна (356) нарушены. Уравнения движения выводятся из вариационного принципа

где — функция величин описывающих деформацию (см. (353)) и выбранных так, что в случае покоя Ф зависит от так же, как функция Лагранжа обыкновенной теории упругости. Полученные отсюда уравнения движения укладьизаются в схему уравнений Лауэ (340) и (341).

Здесь можно также заметить, что Лауэ [213], в отличие от абсолютных, вводит также относительные напряжения. Из (341) следует, что

Поскольку здесь в левой части стоит локальная, а не полная (субстанциональная) скорость изменения плотности импульса, пространственные компоненты тензора Т не есть компоненты упругих напряжений. Субстанциональная производная плотности импульса определяется

ляется теперь так:

и, следовательно,

где

Следует иметь в виду, что относительные напряжения несимметричны. Формулы преобразования для них таковы:

В отличие от соответствующих соотношений для абсолютных напряжений плотность энергии в формулы преобразования не входит. Если в частном случае в покоящейся системе трехмерный тензор напряжений есть скаляр, т. е.

то также

Таким образом, скалярное давление является инвариантом-.

Это следует также прямо из формул преобразования для сил и площадей, если определить давление как силу на единицу поверхности [237] (см. также в § 32, об инвариантности давления света).

Уравнения движения принимают сравнительно простую форму в случае жидкости, где трехмерный тензор напряжений вырождается в скаляр. Этим специальным случаем занимались кроме Герглотца [235], Игнатовский [238] и Ламла [239]; результаты этих авторов совпадают. Если означает плотность массы покоя, — давление и Р, как обычно в гидродинамике, — интеграл то тензор энергпи-импульса равен, для адиабатических процессов,

Из уравнений

вытекает, после скалярного умножения на уравнение непрерывности

а затем и уравнение движения

В случае покоя равно обычному выражению для плотности энергии.

Высказанные соображения представляют ценность только в том отношении, что они показывают возможность создания непротиворечивой релятивистской гидродинамики и теории упругости. В физическом отношении они ничего нового не дают, так как в средах, где скорость упругих волн мала по сравнению со скоростью света, уравнения релятивистской теории упругости практически не отличаются от обычных.

Как Герглотц, так и Ламла делают из своих уравнений тот вывод, что сжимаемость должна иметь нижнюю границу, так как иначе упругие волны могли бы распространяться со сверхсветовой скоростью. Нам кажется, однако, что из принципа относительности нельзя сделать никаких выводов о величине сцепления. Если статическая сжимаемость приближается к указанной Герглотцем и Ламла границе, то феноменологические уравнения

уже, вероятно, неверны. Мы приходим поэтому к дисперсии упругих волн, и положение становится подобным рассмотренному в § 36, б для случая световых волн.