§ 59. Другие специальные строгие решения в статическом поле

Поле (421) материальной точки имеет особенность при или поэтому представляется интересным с теоретической стороны исследовать -поле внутри массы. Для этого необходимо сделать определенные предположения о физических свойствах создающей поле массы, так как иначе тёнзор энергии остается неопределенным. Простейшим предположением является несжимаемый жидкий шар. Для этого случая уравнения поля были проинтегрированы Шварцшильдом [309]; вычисления были упрощены Вейлем [310]. Тензор энергии-импульса согласно (362) равен

так как вследствие постоянства Граничные условия теории упругости требуют непрерывности всех и исчезновения давления на поверхности шара. При учете этих требований иоле определено однозначно.

Во внешнем пространство ( радиус шара) поле такое же, как в случае материальной точки. Гравитационный радиус при этом равен

Внутри шара, напротив, если писать квадрат линейного элемента в нормальной форме (410а), имеем

( — значений h на поверхности), где h имеет то же значение, что и в (413). Поэтому квадрат линейного элемента внутри шара равен

где

Для того чтобы линейный элемент вне шара оставался регулярным, нужно, чтобы Как показывает сравнение с (132а), геометрия трехмерного пространства внутри жидкого шара есть геометрия постоянной положительной кривизны (сферическая или эллиптическая); а имеет значение радиуса кривизны. Вычислением -поля в случае шара из сжимаемой жидкости занимался Бауэр [311].

Следующей проблемой, допускающей строгое решение, является поле электрически заряженного шара. Для вопроса о строении элрктрона интересно исследовать, в какой мере электростатическое поле заряженного шара изменено его гравитационным полем и, наоборот, какое гравитационное поле создается электростатической энергией. Эта задача впервые была решена Рейснером [312], а затем, исходя из вариационного принципа, Вейлем [301, 313]. Оказалось, что электростатический потенциал в точности равен кулоновскому

Здесь мы применяем вместо единиц Хевисайда ебычные

единицы СГС. Однако -поле в нормальной форме (410) определяется уже не выражениями (416), (417), а соотношениями

Последний член здесь есть гравитационное поле, созданное электростатической энергией. Он сравним с ньютоновым членом только на расстояниях порядка . В случае электрона значение а равно входящему в старые теории «электронному радиусу», т. е. см. Гравитационное притяжение, которое один электрон оказывает на второй или на собственный элемент заряда, всегда много меньше электростатического, кулоновского отталкивания; отношение этих сил равно

так что гравитационное полё (435) электрона может обеспечить его устойчивость.

Леви-Чивита [314] исследовал также гравитационное поле, создаваемое однородным электрическим и магнитным полями. Если ось выбрана в направлении первого из этих полей, напряженность которого равна F, то квадрат линейного элемента принимает форму

где — постоянные; . Пространство обладает цилиндрической симметрией относительно направления поля; на любой плоскости, перпендикулярной направлению поля, имеет место такая Же геометрия, как на сфере радиуса а в евклидовом пространстве. Радиус кривизны в полях нормальной величины исключительно велик; например, в поле км.

Вейль [301, 315] и в целой серии сообщений Леви-Чивита [316] дали также общие решения для произвольных распределений заряженной и незаряженной

материи, обладающих цилиндрической симметрией. В этом случае -поле само обладает цилиндрической симметрией и является статическим. В соответствии с нелинейным характером дифференциальных уравнений зависит от масс не аддитивно.