§ 19. Интегральные теоремы Гаусса и Стокса в четырехмерном римановом пространстве

Усложнение тензорного анализа общей группы преобразований по сравнению с анализом аффинной группы состоит в том, что в нем нельзя уже просто складывать компоненты двух тензоров, связанных с различными точками. Поэтому, чтобы получить из тензора дифференцированием новый тензор, нужно, вообще говоря, прибегнуть к помощи развитого в § 14 понятия о параллельном переносе. Получающиеся при этом правила были впервые чисто формально установлены Кристоффелем [81] и позднее приведены в систему Риччи и Леви-Чивитой (см. в [67]). Упрощения и геометрические интерпретации были

даны в работах Вейля [99], Гессенберга [72] и Ланга [69].

Для части операций, которые мы прежде всего рассмотрим и которые распространяются на тензоры первого ранга (в смысле § 11), коэффициенты связности не входят в конечный результат. Поэтому естественно требовать, чтобы при определении их не применялись понятия параллельного переноса. Прежде всего мы можем из скаляра дифференцированием образовать вектор , что непосредственно следует из инвариантности

При этом нужно заметить, - что величины представляют собой ковариантные компоненты:

Чтобы пайги дальнейшие соотношения, надо применить в нашем случае интегральные теоремы Гаусса и Стокса, причем мы ограничимся четырехмерным пространством. Обобщение гауссовой и стоксовой теорем для пространств любого числа измерений имеется у Пуанкаре [100] и Гаусса [101]. Для случая специальной теория относительности (евклидова геометрия и ортогональные координаты) формулы были получены Зоммерфельдом Пусть

— компоненты вектора, бивектора и тривектора, а

— элементы длины, поверхности, пространства и четырехмерного мира, абсолютные величины которых равны

Компоненты (133) выражаются через координаты следующим образом: просто равна дифференциалам координат

далее, если и соответственно — компоненты независимых линейных элементов, принадлежащих

поверхностному иди пространственному элементу, то

Введение этих выражений в какой-либо поверхностный (пространственный) интеграл соответствует способу написания многократных интегралов, введенному Клейном [102] и названному им грассмановским. Он является наиболее естественным способом написания, так как непосредственно указывает на поведение интеграла при преобразовании координат; поэтому Клейн [102] и предпочитает его обычному способу написания. Однако последний имеет преимущество большей простоты, хотя он и не указывает сразу на поведение подынтегрального выражения при преобразованиях координат. Мы получим это написание, если возьмем независимые направления для компонент элемента поверхности (объема) параллельными соответствующим координатным осям. Тогда

или, записывая еще проще,

Но надо, конечно, помнить, что эти выражения при преобразовании координат ведут себя как компоненты вектора.

Мы можем образовать инварианты из тензоров (132) и (133) двумя способами.

1. Помножив ортогональную проекцию f, F, А на на величину соответствующего тензора (длину, площадь, объем):

2. Помножив ортогональную проекцию вектора f на направление, перпендикулярное к на объем помножив ортогональную проекцию бивектора F на двумерное направление, перпендикулярное к на площадь и, наконец, помножив ортогональную проекцию тривектора А на трехмерное направление, перпендикулярное к на длину Эти выражения можно найти с помощью дуальных дополнений к

Суммирование распространено на четные перестановки, a суть тензорные плотности, соответствующие f, F, А (см. § 11).

Обобщения интегральных законов Гаусса и Стокса можно теперь сформулировать следующим образом. Если мы проинтегрируем (136а) по замкнутой кривой, по замкнутой поверхности, а по замкнутой гиперповерхности, то эти интегралы могут быть преобразованы в интегралы по поверхностным, пространственным и мировым областям, ограниченным ими:

(аналогичные теоремы для мы оставляем в стороне, так как они до сих пор не имели в физике

никакого применения). При этом положено

Важно, что инвариантность начальных интегралов влечет за собой инвариантность конечных. Это может быть, однако, только в том случае, если подынтегральное выражение инвариантно в каждой точке, так как область интегрирования можно всегда выбрать как угодно малой. Отсюда следует, что являются ковариантными компонентами и тривектора, — скалярная плотность, a : F — контравариантпые компоненты векторной плотности. Эти свойства операции могут быть выражены следующими правилами:

1. Операция повышает ранг тензора (см. § 11), а операция понижает его.

2. При операции дифференцируются ковариантные компоненты тензора, а при операции — контравариантные компоненты тензорной плотности.

3. Операции являются дуальными. Это следует из соотношении (137). Действительно, например, легко проверить, что

Как в обычном векторном исчислении, операции можно комбинировать. Имеют место соотношения

Применяя последовательно к скаляру операции и grad, получают обобщение лапласовского оператора , По предложению Кошц его обозначают символом . Уже Бельтрами (ЮЗ) ввел его в теорию инвариантов -мерных многообразии; его первое применение в специальной теории относительности встречается у Пуанкаре. Для получения его, согласно (141а), нужно найти контравариантные

компоненты векторной плотности градиента:

Отсюда следует, что при постоянных

Б этом специальном случае можно при помощи оператора образовать из вектора Д новый вектор. Как и в обычном векторном исчислении, имеет место соотношение:

    (145)

Это соотношение, однако, не имеет обобщения для случая, когда не являются постоянными.

Нужно отметить, что введенная в § 11 на геометрической основе систематика тензоров может быть подкреплена и вычислительными соображениями. Именно, тензоры первого ранга аналитически отличаются от тензоров высших рангов тем, что из них без помощи коэффициентов связности можно образовать дифференцированием новые тензоры.