§ 49. Специальные случаи

а. Излучение в движущейся полости. Этот случай представляет исторический интерес, так как он может быть рассмотрен электродинамически и без теории относительности. При этом с необходимостью приходят к заключению, что движущейся световой энергии нужно приписать импульс, а следовательно, и инертную массу. Интересно, что этот результат был найден еще до установления теории относительности Газенорлем [243], выводы которого в отдельных местах нуждаются в уточнении. Полное решение проблемы впервые дал Мозенгейль [244], его результаты широко использовались и были обобщены Планком [209] при выводе формул динамики движущейся системы.

Теория относительности позволяет без труда установить зависимость светового давления, импульса, энергии и энтропии от температуры, а также зависимость спектрального распределения от температуры и направления движения путем сведения движущейся полости к неподвижной. Для последней имеем

и, согласно (369),

Наконец, для интенсивности излучения в интервале частот и в телесном угле получаем

Согласно формулам § 40 отсюда прежде всего получаем

Для того чтобы определить и спектральное распределение в движущейся полости, используем следующие легко получаемые из формул (15), (17) и (253) соотношения:

Последняя величина должна преобразовываться, как квадрат амплитуды А. Поэтому

и

Далее, вследствие того, что

находим

    (382)

Эта формула дает зависимость полной (т. е. проинтегрированной по всем частотам) интенсивности излучения от направления. Формула (382) может, конечно, быть получена и из (381Ь) путем интегрирования по v. Полная энергия, получаемая из (382) с помощью соотношения

совпадает с первым уравнением (380Ь). Возможность экспериментального доказательства инертности энергии излучения представляется нереальной вследствие малости ожидаемого эффекта.

р. Идеальный газ. Отклонения поведения идеального газа вследствие релятивистских эффектов (зависимости массы от скорости) от вычисленного по старой механике можно, естественно, ожидать лишь тогда, когда средняя скорость молекул становится сравнимой со скоростью света. Определяющим здесь является параметр

При нормальных температурах этот параметр исключительно велик и становится небольшим только при температурах порядка 1012 К. Поэтому вопрос об отклонениях поведения идеального газа от обычных законов вследствие релятивистских эффектов имеет лишь теоретическое значение. Проблема была разработана Югтнером [245]. Проще всего прийти к цели, вычисляя свободную энергию с помощью теоремы 2 § 48. Поскольку энергия материальной точки, выраженная через импульсы, равна

то, если принять, что имеется 1 моль вещества, мы имеем

где L есть число Авогадро; V — объем моля газа. Вычисление доказывает, что

где — цилиндрическая функция Ганкеля рода и порядка с

Все остальные термодинамические величины получаются из свободной энергии обычным способом, например,

(независимые переменные V и Т). Из первого уравнения следует, что

Таким образом, уравнение состояния идеального газа остается неизменным и в релятивистской механике. Это связано с тем обстоятельством, что зависимость свободной энергии и интеграла состояния 7, от объема в релятивистской механике не изменяется, что ясно и a priori. Зависимость анергии от температуры уже, однако, ее такая, как в старой теории, так как

Для больших зпаченип о можно замолить функции Гапкеля их асимптотическими значениями

Путем логарифмического дифференцирования отсюда следует соотношение

которое после подстановки в (386) дает

что, как это и должно быть, находится в согласии со старой теорией. Выражение (386) для энергии можно было бы также получить из максвелловского закона распределения, который согласно теореме 4 § 48 отличается от закона распределения старой механики только видом зависимости фактора А от температуры.

Юттнер [246] исследовал также на основе релятивистской динамики влияние движения идеального газа на его термодинамические свойства. Соответствующие соотношения могут быть сразу получены с помощью формул преобразования § 46. Для экспериментальной проверки эакона инертности энергии идеальный газ еще менее пригоден, чем заполняющее полость черное излучение.