§ 58. Сравнение с опытом

а. Теория Ньютона как первое приближение (см. [261, 262]). В § 53, а мы видели, что в слабых квазистатических гравитационных полях уравнения движения переходят в ньютоновы. Чтобы дополнить доказательство того, что теория Ньютона содержится в релятивистской теории как предельный случай, нужно еще показать, что в указанном частном случае скалярный

потенциал (391) удовлетворяет уравнению Пуассона

Для этой цели найдем компоненту 44 уравнения (401 а). Для мы можем ввести кинетический тензор энергии-импульса Цощик. Пренебрегая величинами порядка можно положить все компоненты кроме равными нулю. Компонента равна

и, следовательно,

Поэтому уравнение (401 а) дает

    (408 а)

Значение можно взять из (94). Поскольку производными по времени и произведениями мы пренебрегаем, получаем просто

и так как

то

последнее равенство получено согласно (391). Подставляя это в (408 а), находим окончательно

Таким образом, уравнение Пуассона действительно оказывается справедливым. То обстоятельство, что общая теория относительности на основании очень общих постулатов § 56 без дальнейших гипотез приводит к закону тяготения Ньютона, является ее большим успехом. Кроме того, благодаря этому мы теперь в состоянии кое-что сказать о знаке и числовом значении постоянной и. Действительно, сравнивая (407 а) с (407 Ь), находим, что

Одновременно оказывается, что и положительно, вследствие чего отрицательный знак в правой части уравнения (401) оправдан. Таким образом, общая теория относительности не дает никакого физического истолкования знака (т. е. гравитационного притяжения, а не отталкивания) и значения гравитационной постоянной; эти данные теория берет из опыта.

. Строгое решение для гравитационного поля материальной точки. Для определения движения перигелия Меркурия и искривления световых лучей нужно для поля материальной точки знать не только но и все остальные , а кроме того, и вычислить с точностью, на порядок большей. Уже в 1915 г. Эйнштейн [261] решил эту задачу методом последовательных приближений. Шварцшильд [299], а затем независимо Дросте [300] впервые дали строгое решение для -поля материальной точки. Движение перигелия и отклонение лучей получаются из него практически такими же, как у Эйнштейна. Большой математическое упрощение внесла работа Вейля [301], который вместо полярных координат ввел декартовы и, кроме того, пользовался не общими дифференциальными уравнениями для -поля, а вариационным принципом.

Поскольку поле материальной точки является статическим и сферически-симметричным, квадрат линейного элемента может быть приведен к виду

где — функции только

Однако этим координатная система еще не определена однозначно. Действительно, при преобразовании

содержащем произвольную функцию квадрат линейного элемента сохраняет форму (410). Поэтому мы можем ещё далее нормировать координаты. Следующие два вида нормировки оказываются, в частности, удобными:

Мы будем производить интегрирование уравнений поля в координатах, в которых квадрат линейного элемента принимает форму (410а). Уравнения поля в области, не содержащей массы, которую мы здесь только и рассматриваем, согласно (401а), имеют простой вид

Компоненты тензора кривизны в нашем случае после введения сокращений

выражаются, как можно установить расчетом из (410а), так:

где суть значения и соответственно в точке Эти значения должны быть подставлены в (412). Из первого и третьего уравнения (415) сразу находим

Если мы наложим еще условие, чтобы в бесконечности принимали свои нормальные значения (только после этого проблема становится определенной (см. § 62)), то далее получим

и из второго уравнения (415) следует, что

где — постоянная интегрирования. Сравнивая с ньютоновым потенциалом Ф (см. (391)), находим, что эта постоянная связана с массой М материальной точки, создающей поле, формулой

Поскольку имеет размерность длины, мы будем называть эту величину гравитационным радиусом массы. Легко убедиться в том, что соотношения (416) и (417) действительно удовлетворяют всем уравнениям поля.

Согласно Вейлю, вычисление выражений (415) делается излишним, если исходить из вариационного принципа (403). Для свободного от материи пространства мы можем также согласно (177) написать

В нашем случае можно здесь не вводить ни времени, ни координат а рассматривать как функцию только . Вычисление дает

и (419) в силу того, что принимает вид:

При варьировании h имеем . Варьирование Д дает

откуда, вследствие определения по (413), снова получается поле (416), (417).

Квадрат элемента линии принимает согласно (413) вид

Первая часть этого выражения, относящаяся к трехмерному пространству, может быть по Фламму [302] наглядно истолкована следующим способом. На каждой плоскости, проходящей через центр (например, геометрия такая же, как в евклидовом пространстве на поверхности четвертого порядка, получающейся вращепием параболы

вокруг оси z. Действительно, на этой плоскости

В точке координатная система имеет особенность.

Вторая нормальная форма (410Ь) получается, по (411), с помощью преобразования

    (422)

Тогда

Эта координатная система распространена до

. Движение перигелия Меркурия и искривление световых лучей. Теперь мы переходим к вычислению траекторий материальных точек и световых лучей в гравитационном поле (421). Эти траектории являются геодезическими линиями четырехмерного мира, определяемыми вариационным принципом

или дифференциальными уравнениями (80). Из последних после простого расчета следует, что

Для материальной точки означает собственное время, для светового луча — произвольный параметр, удовлетворяющий дифференциальному уравнению (105). Отсюда прежде всего можно заключить, что траектория материальной точки и светового луча является плоской и, далее, что если ось перпендикулярна к этой плоскости и введены полярные координаты

то существует закон площадей

    (425)

С другой стороны, из (81) путем варьирования времени, так же, как в § 53, , получаем

Возводя эти выражения в квадрат и исключая с помощью соотношения для материальной точки и соотношения для светового луча, находим для этих случаев соответственно

(426а) есть закон сохранения энергии. Оба отличаются от ньютоновых только наличием члена. Если ввести еще с помощью (425) в независимой переменной вместо , то

траектории этими уравнениями определяются Последний член формулы (427а) вызывает еригелия планетных орбит в направлении об-ланет, равное за один период обращения

полуось, — эксцентриситет). Учитывая третий закон Кеплера

обращения), выражение (428а) можно

гается еще обсудить уравнение (427b) для уча. Если бы последнего члена в левой части световой луч был бы прямой линией, прохо- расстоянии А от центра. Возмущающий член искривление светового луча, вогнутой к центру своим следствием общее отклонение на угол

означает расстояние от центра до асимптот луча. Примененный здесь метод вычисления луча предложен Фламмом [302]. основанный на применении приводит к тому же результату, как это согласно § 53, .

Найденные здесь следствия теории тяготения допускают проверку на опыте. Что касается терпгелия, определяемого формулой (428), то точно велико лишь у Меркурия, вследствие

близости его к Солнцу и большого эксцентриситета его орбиты. Теоретическое значение для Меркурия таково:

(см. таблицу в [303]).

Со времени Леперье [304] астрономам известно, что в движении перигелия Меркурия имеется остаток, не объясняемый возмущениями со стороны остальных планет. Согласно новым перерасчетам Ныокома [305] этот остаток ранен

Таким образом, теоретическое значение в приделах погрешности совпадает со значением Ньюкома. Вопрос о том, насколько надежно само значение Ньюкома (пли оно неточно, как утверждают некоторые астрономы, из-за ошибок, допущенных им при вычислении), обсуждается в статье Ф. Коттлера (Коlller F. i! Enz. Math. Wiss., VI2, 22). Гам же см. о нерелятивистских причинах движения перигелия Меркурия, к числу которых; относятся, например, сплющенность Солнца, вращение эмпирической системы относительно инерциальной, непланетные возмущающие массы, особенно образующие зодиакальный свет (Зеелигер [306]). Эйнштейновское объяснение выгодно отличается от объяснения Зеелигера во всяком случае тем, что не нуждается ни в каких неопределенных параметрах. Совпадение значений Эйнштейна и Ныокома означает большой успех, даже несмотря на то, что в настоящее время трудно судить о точности числового значения Ныокома.

Недавно еще раз обсуждалась старая попытка Гербера [307] объяснить движение перигелия Меркурия конечностью скорости распространения гравитации. Эта попытка с теоретической стороны совершенно не удалась, несмотря на то, что привела на основе неверных утверждений к правильной формуле (428), хотя даже и в этом случае в последней имелся новый числовой множитель.

Недавно общая теория относительности получила, в результате измерения отклонения световых лучей, еще более важное подтверждение, чем в случае движения перигелия Меркурия. Согласно (429) световой луч,

проходящий у края Солнца, испытывает отклонение, равное

Этот эффект может быть проверен путем наблюдения неподвижных звезд вблизи Солнца во время полного солнечного затмения. Экспедиции в Бразилию и на остров Принсипе во время солнечного затмения 29 мая 1919 г. действительно установили наличие предсказанного Эйнштейном эффекта [308]. Количественное совпадение также хорошее. Первая из названных экспедиций нашла среднее, приведенное к краю Солнца отклонение лучей, равное вторая экспедиция . О методах приведения, с помощью которых найдены эти числа, см. в статье Коттлера

Вычисленное первоначально Эйнштейном половинное значение для (см. § 50), получаемое также на основе ньютоновой теории для материальной точки, движущейся со скоростью света, оказывается, таким образом, несовместимым с экспериментом (см. примеч. 16).