§ 6. Теорема сложения скоростей Эйнштейна. Аберрация. Коэффициент увлечения. Эффект Доплера

Непосредственно видно, что способ сложения скоростей, применяемый в старой кинематике, непригоден в кинематике релятивистской. Ясно, например, что скорость сложенная со скоростью с, должна дать снова с, а не с . Формулы преобразования (I) полностью содержат в себе необходимые правила. Пусть в К задано некоторое движение:

Ему соответствует в К движение:

Мы хотим установить связь между компонентами скорости

и соответствующими величинами в

Из (1а) получаем

Отсюда путем деления на последнее уравнение находим

Эти соотношения имеются также в цитированной ранее работе Пуанкаре. Из них следует сразу, что

или в другой записи

и

Обратные формулы получаются из приведенных заменой Для абсолютных значений скоростей при сложении имеет место коммутативный закон; он не имеет места для направления скоростей. Из (10) сразу получаются формулы, относящиеся к тем частным случаям, когда складываемые скорости параллельны или перпендикулярны друг другу.

Далее, из (11а) следует, что сумма двух скоростей, меньших скорости света, всегда меньше скорости света. Невозможность скорости относительного движения двух тел, большей, чем скорость света, следует уже из того, что преобразования (I) в этом случае приводят к мнимым значениям координат. Можно утверждать даже больше: если действие распространяется в системе К со сверхсветовой скоростью, то имеются такие системы К движущиеся относительно К со скоростями , в которых событие, происходящее в К после некоторого другого, происходит раньше этого последнего. Именно, принимая, что с, имеем после обращения формулы (10)

если . Поскольку, таким образом, попятия причины и следствия меняются местами, необходимо сделать вывод о невозможности сигналов, распространяющихся со сверхсветовой скоростью [49]. Поэтому скорость света в теории относительности играет во многих отношениях роль предельно большой скорости. Для того чтобы предотвратить возможные недоразумения, которые часто возникают, следует подчеркнуть, что по самому ее выводу теорема о невозможности сверхсветовых скоростей справедлива лишь в галилеевых системах отсчета.

Рассмотрим теперь подробнее тот случай, когда одна из складываемых скоростей равна скорости света, т. е. . Направление светового луча оставим произвольным.

Прежде всего из (11) видно, что , т. е. сумма скорости света и скорости, меньшей скорости света, равна опять скорости света. Соотношение (12) дает

Это выражение представляет собой релятивистскую формулу для аберрации света, которую Эйнштейн вывел уже в своей первой работе. Ее более строгое обоснование будет дано ниже. С точностью до величин первого порядка она совпадает с классической формулой. Теория относительности вносит здесь принципиальное упрощение, заключающееся в установлении полной идентичности двух случаев: движущийся источник света — неподвижный наблюдатель и неподвижный источник света — движущийся наблюдатель.

Второе важное применение теоремы сложения скоростей Эйнштейна, на которое впервые указал Лауэ [51] после неудачной попытки Лауба [50], состоит в объяснении френелевского коэффициента увлечения. Как и в случае аберрации, релятивистская формула с точностью до величин первого порядка совпадает с выведенной Лоренцем в рамках старой теории. Релятивистский вывод имеет, однако, то большое преимущество, что он проще и из него очевидна независимость конечной формулы от специальных предположений о механизме преломления света. Кроме того, само понимание вопроса иное. Раньше опыт Физо рассматривался как прямое доказательство существования неподвижного эфира, поскольку принималось, что световые волны распространяются относительно движущейся среды не со скоростью , а со скоростью . С релятивистской точки зрения это не так, в силу невозможности применять здесь обыкновенную кинематику. Мы должны принять, что для наблюдателя, движущегося со средой, свет распространяется во все стороны со скоростью Уже из этого следует, что для наблюдателя, движущегося со скоростью v относительно среды, свет распространяется не со скоростью , а с некоторой скоростью V, определяемой

соотношениями (10). Мы ограничимся здесь случаем, когда направление света совпадает с направлением движения наблюдателя относительно среды. В общем случае, к которому мы вернемся в гл. III, § 36, у, применение теоремы сложения скоростей требует осторожности. Полагая получаем, используя первое из уравнений (10),

где второе выражение получается, если ограничиться членами первого порядка. В случае диспергирующей среды в правую часть этой формулы нужно внести, как отметил Лорепц [54], еще одну поправку. Как ясно из вывода, в этом случае есть показатель преломления для длипы волпы X, измеряемой в сопутствующей системе координат Вследствие эффекта Доплера, теория которого рассмотрена ниже, она выражается через длиау волны К, измеряемую в системе

(мы ограничиваемся и здесь членами первого порядка), поэтому

и, если писать вместо получаем окончательно

Зееману [55] удалось экспериментально доказать наличие добавочного члена

Экспериментальное устройство многократно изменялось, причем свет выходил через движущуюся поверхность, а не через неподвижную, как раньше. Иногда свет входил перпендикулярно к направлению движения тела, в котором определялось увлечение. При этом использовались стекло и кварц вместо жидкости, применявшейся

Физо. В указанных случаях теория нуждается в известных изменениях сравнению с теорией опыта Физо), приводящих к конечной формуле, отличной от (14а). Поступательное движение в ряде экспериментов заменялось вращением. Особенно замечателен опыт Саньяка (в котором вращались вместе все части прибора), так как из него следует, что вращение системы отсчета относительно галилеевой системы может быть установлено оптическими опытами внутри самой этой системы. Результат опыта находится в полном согласии с теорией относительности. Еще ранее Майкельсон [62] предложил аналогичный опыт для доказательства вращения Земли. С теоретической точки зрения это предложение подробно обсудил Лауэ. Мы имеем здесь дело с оптическим аналогом опыта Фуко с маятником (см. примеч. 3).

Разберем теперь эффект Доплера, третье фундаментальное для оптики движущихся тел явление, хотя оно и не связано с теоремой сложения скоростей. Рассмотрим очень удаленный источник света L, покоящийся в системе К. Наблюдатель находится в системе К, движущейся относительно К со скоростью v в направлении положительных значений координаты Пусть линия, соединяющая источник света и наблюдателя, образует с осью х в системе К угол а и, кроме того, ось z перпендикулярна к плоскости, определяемой двумя этими направлениями. Тогда в К фаза световой волны задается выражением

где v — собственная частота источника света. Как мы покажем подробнее в гл. III, § 32, б, фаза должна быть инвариантна. Поэтому должно иметь место равенство

С помощью (I) сразу получаем отсюда

откуда, далее, следует, что

и

Установим формулу преобразования телесного утла некоторого светового пучка. Так как

из соотношения

путем дифференцирования сразу получаем

Формула (15) есть выражение эффекта Доплера, формула (16а) представляет собой обращение ранее встречавшегося уравнения (13). Мы получили, таким образом, новый, более строгий вывод релятивистской формулы аберрации. Как и следовало ожидать, выражение (15) для эффекта Доплера также совпадает с классическим, с точностью до членов первого порядка, которые только и доступны для экспериментальной проверки. Как и в случае аберрации, теория относительности вносит здесь по крайней мере одно принципиальное упрощение, так как рассматривает как совершенно идентичные различавшиеся в старой теории и в акустике случаи: покоящийся источник — движущийся наблюдатель и движущийся источник — покоящийся наблюдатель.

Для теории относительности характерно, что даже тогда, когда скорость источника света перпендикулярна к направлению наблюдения (т. е. ), эффект

Доплера не исчезает. В этом случае согласно (15) имеем

Это поперечное доплеровское смещение в красную сторону находится в полном согласии с замедлением времени, постулированным для любых часов (см. § 5). Сразу же после того как Штарк наблюдал эффект Доплера в свете, излучаемом каналовыми лучами, Эйнштейн [63] указал на возможность обнаружения поперечного эффекта Доплера путем исследования свечения каналовых лучей. До сих пор, однако, не удалось осуществить этот эксперимент, так как крайне трудно сделать а близким к 90° в отделить релятивистский поперечный эффект Доплера от обыкновенного продольного (см. примеч. 4).