ПРИМЕЧАНИЯ В. ПАУЛИ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

Примечание 1. Кеннеди и Торндайк [359] выполнили важный эксперимент, который является разновидностью опыта Майкельсона и в котором разность длин плеч интерферометра была большой. Отрицательный результат этого эксперимента исключает возможность того, что время прохождения светом любого замкнутого пути в лаборатории на Земле зависит от скорости движения Землп. Теоретический анализ этого эксперимента можно найти в статье Робертсона [360].

Примечание 2. Опыт Майкельсона для света от небесных источников (Солнца и звезд) был выполнен Томашеком [361]. Он дал отрицательный результат.

Примечание 3. Поганы [364] повторил опыты Гарреса и Санья-ка. Был также выполнен оптический эксперимент с целью обнаружить вращение Земли [365].

Примечание 4. Эффект Доплера второго порядка был действительно обнаружен на опыте путем сравнения среднеарифметического сдвига частоты для двух световых пучков, движущихся точно в противоположных направлениях с частотой света, излученного покоящимися атомами. Этот опыт был выполнен Ивесом и Стилвелом [366] и повторен Оттингом [367]. Причем предсказание специальной теории относительности подтвердилось с большой точностью. (Таким образом, экспериментально опровергнуто предположение Абрагама, о котором упоминалось выше.)

Зависимость времени жизни распадающихся мезонов от их энергии может использоваться как хороший метод для проверки эффекта замедления времени специальной теории относительности. Теория предсказывает, что время жизни должно быть пропорционально энергии частиц, определенной, по соответствующим релятивистским формулам (см. | 37). Качественно это предсказание проверено как в экспериментах с космическими лучами (см., например, [368]), так и в экспериментах с искусственно полученными мезонами (в опыте Дурбина, Лоара и Хэвепса [369] было измерено время жизни -мезона с энергией 73 МэВ, для которого коэффициент замедления времени порядка 1,5, и было показано, что с погрешностью подтверждается теоретическое предсказание для этого коэффициента). Однако в настоящее время точность этих экспериментов еще недостаточно высока, поскольку до сих пор не проводились специальные эксперименты, единственной

ной целью которых была бы проверка теоретических формул для замедления времени.

Примечание 5. Введенная нами терминология не привилась в литературе. В настоящее время читателю совсем непривычно, например, что ранг (штемора отличен от числа его тензорных индексов. В частности, хотя у тензора кривизна четыре индекса, мы его называем битензором второго ранга.

Примечание 6. Имеется логическая возможность отказаться от всякой связи между связностью и метрикой пространства . В этом случае постулируют следующий закон преобразования для «псевдотензорного поля»:

который совпадает с требованием общей ковариантности для определения (64) параллельного переноса контравариантпых векторов.

Вместо условия (67), содержащего метрику явным образом, необходимо теперь постулировать инвариантность скалярного произведения контравариантного вектора а и ковариантного вектора при параллельном переносе. Из условия

для ковариантных векторов мы получаем из (64) следующий закон переноса:

Описанное выше обобщение Романовой геометрии называют аффинной геометрией; соответствующий параллельный перенос векторов называют аффинной связностью, а пространство, в котором этот перенос определен, — пространством аффинной связности.

На первый взгляд кажется естественным сохранить требование (65) симметрии Г по нижним индексам, поскольку антисимметричная часть образует некоторый новый объект, который, как видно из приведенного закона преобразования (1), является уже настоящим тензором. Преобразованием координат можно обратить в нуль в данной точке только симметричную часть Г. Позднее

(в примеч. 23) мы, однако, рассмотрим также и несимметричные в связи с вопросом о применении в физике аффинной геометрии. В примеч. 7 мы ограничимся рассмотрением только симметричных

Примечание 7. а. Ковариантное дифференцирование в пространстве аффинной свяаности. (Стандартное изложение этого материала можно найти, например, в книге Схоутеца )

Как уже упоминалось, используя только связность без всякой метрики, можно однозначно определить ковариантное дифференцирование Риччи и Леви-Чивиты. Обозначим ковариантное дифференцирование точкой с запятой (что слегка отличается от обозначений, принятых в основном тексте), так что, например (см. (148а) и (148b)),

    (2)

Постулируем для ковариантного дифференцирования следующие правила действия на скаляр с и на произведение тензоров (в частности, допускаются и свертки):

Эти правила аналогичны правилам действия обычной производной на произведение. Используя эти правила, нетрудно получить соотношения (1) и (2) одно из другого, так как

и члены, содержащие Г, выпадают. Более того, общая формула (152), приведенная в основном тексте для ковариантной производной от тензора, находится в соответствии с соотношением (4) и вытекает из него, если дополнительно предположить, что выполняются соотношения (1), (3) или (2), (3).

Нетрудно распространить определение параллельного переноса на случай тензорных полей. Условие инвариантности тензорноного поля а при параллельном переносе вдоль данной кривой записывается в виде

Если не определено вне кривой, то в формуле (5) следует заменить

При такой замене определение (5) годится и для случая, когда задано только на выбранной кривой.

Заметим далее, что определение (152) согласуется с тем, что ковариантная производная от тензора, компоненты которого равны -символу Кронекера, обращается в нуль.

Применяя правило (4) для вычисления ковариантной производной от детерминанта ) тензора второго ранга (который преобразуется так же, как g), получаем

и, следовательно,

Используя это равенство и формулу (3), для скалярной плотности имеем

Для дивергенции от векторной плотности Г-символы выпадают, и мы получим

b. Тензор кривизны в пространстве аффинной связности. Поскольку выражение (86) для тензора кривизны

приведенное в § 16, не содержит метрики, его легко перенести на случай пространства аффинной связности. Этот тензор по-прежнему обладает свойствами симметрии

Однако теперь уже нельзя опустить первый индекс, и поэтому нет аналога свойства (92) антисимметрии по первой парс индексов

Вследствие этого свернутый тензор кривизны, который по аналогии с (93) и (94) определяется как

не является симметричным и его можно разложить на две неприводимые

составляющие — симметричную и антисимметричную!

(мы использовали здесь условие симметричности Г (65)) и

Антисимметричная часть удовлетворяет тождеству

Поскольку для вариационного принципа важно иметь скалярную плотность (см. § 23), мы заметим эдесь, что простейшей скалярной плотностью, которую можно построить из тензора кривизны алгебраически (без использования производных), является

Это очевидно, потому что для построения инвариантного элемента объема можно использовать любой симметричный тензор второго ранга, точно так же, как это делаетря для метрического тензора. Можно следующим образом определить соответствующий тензор с верхними индексами:

и использовать его затем для поднятия индексов

Простейший инвариант имеет

Используя (11) и (14), можно построить скалярную плотность:

Здесь a — произвольный параметр. Эта скалярная плотность стоит из двух выражений, сложенных друг с другом, чего так стре. мятся избежать авторы, разрабатывающие единые теории (см. примеч. 23). (Можно по аналогии о тем, как это сделано в примеч. 20, построить третий инвариант.)

с. Тождество Бианки. Для получения дифференциальных тождеств Бианки, которые имеют место как в римановом странстве, так и в более общем пространстве аффинной связности,

удобно начать со следующего равенства:

приведенного в основпом тексте.

Из этого равенства можно получить для произвольного тензора второго ранга выражение

Это очевидно для тепзора 5 специального вида Используя линейность, можно показать, что оно справедливо для любой линейной комбинации таких тензоров, а следовательно, и для тензора общего вида.

Подставляя в (17) тензор и и складывая равенства, полученные из исходного циклической перестановкой индексов , можно с учетом (7а) получить

С другой стороны, ковариаптпо дифференцируя (16) и затем складывая равенства, полученные циклической перестановкой , находим

Левые части (18) и (19) совпадают. Совпадает также и правая часть (18) с выражением в первых круглых скобках в правой части (19) (если обращать внимания на порядок члепов). Поэтому для произвольного векторного поля должно обращаться в нуль выражение, стоящее во вторых круглых скобках в правой части (19). Таким образом, приходим к известным тождествам Биаики

Сверткой получаем из них

или, изменяя обозначение индексов,

d. Случай риманова пространства. Для риманова пространства можно согласовать метрику и аффинную связность с помощью следующего естественного постулата: метрика инвариантна относительно параллельного переноса вдоль любой кривой. Из этого требования с помощью (5) немедленно получаем

или

Последнее равенство в еияу (66) совпадает с (68), Соотношение (69) для вытекает из него, если только Г-символы симметричны.

Условие (22) можно переписать в виде

    (22а)

совпадающем с (71) основного текста. С помощью этих формул можно поднимать и опускать индексы у тензора под знаком ковариантной производной. Если, как обычно,

то

Заметим, что равенство (67) основного текста также эквивалентно (22). Используя равенства (3), (4) и соотношение (64) основного текста, получаем

Для метрического тензора кривизны, построенного из определенных равенствами (66) и (69), нетрудно доказать остальные свойства симметрии:

    (24)

или

Для этого достаточно подставить вместо в общее соотношение (17). Поскольку в силу (22) обращается в нуль левая часть полученного соотношения, то и правая часть, совпадающая с (24а), должна обращаться в нуль.

В § 16 было показано, что вследствие (24) свернутый тензор кривизны симметричен, что означает обращение в нуль антисимметричной части Именно это позволяет в случае метрического пространства однозначным образом строить инварианты из тензора кривизны (см. формулу (113)).

Получим, наконец, из соотношения (21), вытекающего из тождеств Бианки, равенства (182а), (182Ь) для тензора (см. (109))

Эти равенства записываются в виде

Для этого умножим (21) на и затем свернем по индексам h и

к. Используя (23) и (см. (93)), имеем

или

что совпадает с (25). Важность того обстоятельства, что четыре соотношения (25), столь существенные для общей теории относительности, так просто связаны с тождествами Бианки, было отмочено Эйнштейном в его более поздней работе.

Примечание 8. Метод Палатини состоит в следующем: прежде всего он обращает внимание на то, что хотя не являются тензорами, вариации этих величин согласно (71) образуют тензор. Используя формулу (94) для можно получить

Это сразу можно увидеть в геодезических координатах, в которых в одной выбранной точке величины Г обращаются в нуль, хотя их производные в этой точке, вообще говоря, отличны от нуля, А поскольку обе части уравнения имеют тензорный характер, то это равенство будет справедливо и в произвольной системе координат.

Используя правило ковариантного дифференцирования произведения, имеем

Первый член представляет собой коварнавтную дивергенцию, и, следовательно, согласно уравнению (6а), примеч. 7, после интегрирования по объему сводится к поверхностному интегралу. Последний равен нулю, поскольку вариации Г исчезают на границе. Поэтому имеем

Используя

получаем

До сих пор мы нигде не использовали обращение в нуль ковариантной производной метрического тензора (см. уравнения (22) и (23), примеч. 7). Если воспользоваться этим условием, то второй

интеграл в правой части обращается в нуль, и мы приходим к формуле (180) (с. 101). Используя этот метод, предложенный Палатина, можно модифицировать вариационный принцип (см. § 57) и рассматривать 10 функций и 40 функций в качестве независимых переменных действия [373].

В том случае, когда подынтегральное выражение части действия, отвечающей за материю (ем. выражение (404)), не содержит явно величин при варьировании согласно (3) имеем

откуда сразу вытекает, что Таким образом, эти уравнения, наряду с уравнением (401) для гравитационного поля, входят и состав полевых уравнений, вытекающих из вариационного принципа.

Условие независимости от части интеграла действия очевидным образом выполняется для электромагнитного поля в отсутствие электрических токов (см. (172)). В общем случае, однако, возникают определенные ограничения на применимость концепции классического поля, и указанное выше условие вовсе не кажется тривиальным. В частности, случай, когда 24 содержит спинорные поля, требует более внимательного рассмотрения.

В римановом пространстве представляется более простым и естественным с самого начала предполагать выполнение равенств

и рассматривать вариационный принцип, в котором 10 функций являются единственными независимыми переменными.

Об использовании метода Палатини в уравнениях Эйнштейна см. примеч. 22.

Примечание 8а. Равенство (184)

становится очевидным, если воспользоваться соотношением

впервые полученным П. Фрейдом [374], Здесь — антисимметричная по к и I величина

(Для выражения, обозначенного в нашей книге как — Фрейд использовал обозначение поэтому его величина имеет знак, противоположный по сравнению с принятым у нас знаком Он также получил для

аффинной тензорной плотности выражение

Результаты Фрейда можно также вывести, используя обобщение формулы (181) для вариации и произвольных функций при этом следует учесть вклад поверхностного интеграла (177). После некоторых преобразований, используя (182а), получаем

где

Обращение в нуль подынтегрального выражения (2) для произвольных функций приводит к тождествам (I), (II) и (III), в то время как выражение (3) совпадает с выражением (I) Фрейда.

Равенство (II) полезно, поскольку оно позволяет выразить интегралы по объему от полной энергии и импульса в виде потока через поверхность.

Примечание 9. В настоящее время во всех экспериментах с частицами высоких энергий, будь то космические лучи или заряженные частицы, ускоряемые до высоких энергий в ускорителях (циклотропах, бетатронах и т. п.), релятивистский закон зависимости эпергии и импульса от скорости принимается как нечто само собой разумеющееся. Для расчета орбит частиц в ускорителях также важно использовать соответствующие релятивистские формулы, предсказание которых всегда согласуется с экспериментом. Специальный эксперимент для проверки релятивистской формулы зависимости массы электрона от скорости при с был выполнен Роджерсами и Мак-Рейнольдсом [375].

Примечание 10. Здесь имеется историческая неточность. Указанный вариационный принцип был известен уже Лармору [376].

Примечание 11. Лауэ [380] показал, что при феноменологическом описании движущихся тел (а также для покоящихся кристаллов) правильным является только несимметричный тепзор энергии-импульса, предложенный Минкозским. Им подчеркивается также, что теорема сложения лучевых скоростей (ср. с (312)) согласуется только с этим выбором тензора энергии импульса.

Примечание 12. Рассмотрение Льюиса и Толмеаа существенно упрощается в системе центра масс сталкивающихся сфер.

Примечание 13. Весьма впечатляющим примером, иллюстрирующим эквивалентность массы и энергии, является излучение при анпигиляции электрона и позитрона, где полная масса преобразуется в энергию. (Относительно измерения длины волны излучаемых фотонов см. [387].)

Первое количественное подтверждение баланса массы-энергия в ядерных реакциях было получено Каккрофтом и Уолтоном [388] в реакции, при которой пара а-частиц возникала при бомбардировке протонами,

В настоящее время эквивалентность массы и энергии (инертность энергии), постулированная Эйнштейном, является одним из наиболее установленных фактов, лежащих в основе ядерной фланки. Эта эквивалентность дает возможность интерпретировать значения масс фундаментальных частиц как собственные значения оператора энергии.

Примечание 14. Хотя за прошедшее время из-за различных мешающих эффектов не удалось добиться прогресса в обнаружении красного смещения спектральных линий на Солнце, имеется хорошее согласие менаду теорией и экспериментом для красного смещения линий спектра излучения спутника Сириуса. Это смещение примерно в 30 раз больше, чем на Солнце, вследствие крайне высокой плотности этой звезды. Более детально об атом см. Proceedings of the Congress «Jubile of Theory of Relative». — Berne, 1955.

Примечание 15. Тот факт, что закон сохранения энергии-импульса (341а) для материи (в том числе и для электромагнитного поля) является следствием одних лишь гравитационных уравнений, заставляет ожидать, что уравнения движения материальных частиц (которые феноменологически можно описать тензором энергии-импульса — см. (322)) тоже должны следовать без каких-либо дальнейших предположений из уравнений для гравитационного поля.

То, что это действительно так, было доказано в серии работ Эйнштейна с сотрудниками и, позднее, Инфельдом с сотрудниками [389—395] (см. также Bergmann P. G. Introduction of the Theory of Relativity.- New York, 1942, ch. XV), Они рассмотрели, в частности, точечную сингулярность (мировую линию сингулярности в четырехмерном пространстве-времени) во внешнем поле и показали, что как следствие условия обращения в нуль ковариантной дивергенции существование сингулярности метрики на мировой линии, вне которой справедливы уравнения (или ) возможно только тогда, когда эта линия является геодезической.

Для доказательства этого использовались различные методы приближения. Наиболее удобным является разложение по степеням что соответствует разложению по числу производных по времени (квазистатические поля, ср. § 58, а). Другой метод состоит в переходе к пределу бесконечно малого значения массы пробного тела. Этот метод, применяемый Инфельдом и Шильдом, годится и для случая быстропеременных полей.

Этот результат означает, в частности, что не существует решений уравнений гравитации, соответствующих случаю, когда две точечные массы покоятся, Имеются, однако, статические решения,

в которых метрика сингулярна на линии, соединяющей две точка в пространстве. Эта сингулярность соответствует одномерному распределению плотности вещества.

Аналогичным образом можно показать, что из одних только уравнений гравитации следует, что электрически заряженная точечная масса движется в соответствии с законом движения при наличии силы (216) (см. уравнение (225а)).

Я хочу подчеркнуть, что хотя способ представления вещества с помощью точечной сингулярности может иметь формальный математический интерес и оказаться полезным в приложениях, тем не менее при исследовании вопроса об уравнениях движения в общей теории относительности он не является определяющим. Можно ввести формально тензор энергии-импульса вещества в полевые уравнения (401), не предполагая, что он выражается через другие величины, а просто для описания малой, но конечной области пространства-времени, в которой правая часть этих уравнений отлична от нуля (см., например, в книге Вейля [396] § 38, а также в книге Фока [397]). Тогда вытекающее из них уравнение дивергенции (341а) можно использовать для исследования движения центра масс этой области во многом аналогично тому, как это делалось при выводе движения сингулярностей. Этим способом исследовал малую силу радиационного трения, возникающую при излучении гравитационных волн. Хотя эта сила при разложении по возникает только в очень высоком, практически недоступном для наблюдений порядке, она представляет фундаментальный интерес, поскольку в этом порядке почти невозможно провести резкое различие между внешним полем и самодействием вещества.

Примечание 16. Большинство специалистов считает, что наилучшее определение отклонения света Солнцем по-прежнему принадлежит Кэмпбеллу и Трумплеру (из Ликской обсерватории), оно находится в хорошем соответствии с теоретическим значением (см. доклад Трумплера и его обсуждение в трудах конгресса, посвященного юбилею теории относительности в Берне, 1955 г.).

Примечание 17. Интересен и не разрешен вопрос о том, существуют ли точные решения вакуумных уравнений всюду регулярные и на бесконечности трехмерного пространства имеющие асимптотику, совпадающую с элементом длины специальной теории относительности. Доказано (см. следующее примечание), что нет статических или стационарных решений такого рода, однако можно было бы ожидать существования таких зависящих от времени решений, которые соответствовали бы стоячим гравитационным волнам (например, сферическим). Легко видеть, что для плоских волн таких решений нет. Эйнштейн и Розен построили для цилиндрических волн точное решение [406], однако оно не обладает свойством асимптотической евклидовости на пространственной бесконечности.

Желательно было бы решить эту довольно общую математическую проблему о существовании подобных точных решений. Если только такие решения существуют, то представляется невозможным сформулировать принцип Маха в такой форме, чтобы он являлся следствием релятивистских полевых уравнений. Во всяком

случае, в связи с новыми результатами, полученными в последнее время при исследовании космологической проблемы (см. примеч. 19), следует вновь рассмотреть этот принцип.

Примечание 18. После того как Серини доказал невозможность существования статических регулярных решений вакуумных полевых уравнений возник аналогичный вопрос относительно решений, у которых 3) отличны от нуля, но не зависят от времени. Первый шаг на пути доказательства несуществования этих более общих (стационарных) решений был сделан в работе Эйнштейна и Паули [407]. Они показали, что если такое решение существует, то его отклонение от метрики Минковского на больших расстояниях должно убывать быстрее, чем (Старый метод, принадлежащий Серини, приведен в приложении к этой работе.)

Это ограничение преодолел Лихнерович [408, 409], который доказал в самом общем виде, что отсутствуют стационарные решения уравнений которые на бесконечности стремятся к метрике Минковского. Как и Серини, он показывает, что обращаются в нуль некоторые интегралы от положительно определенного выражения.

Примечание 19. Космологическая проблема. С момента первого издания этой книги в теорию был сделан новый важный вклад. Фридман [410] нашел новые решения уравнений поля Эйнштейна, описывающие пространственно-однородный мир с метрикой, зависящей от времени. Эти решения существуют также в отсутствие космологического члена Эйнштейна в уравнении во всех трех случаях — положительной, равной нулю и отрицательной постоянной кривизны трехмерного пространства. Эти решепия для реальной Вселенной впервые применил Леметр [411]. Он показал также, что статическое решение Эйнштейна неустойчиво по отношению к зависящим от времени изменениям плотности вещества. Приложение этих решений к реальной Вселенной оказалось возможным после того, как Хаббл открыл красное смещение спектральных линий излучения туманностей, пропорциональное расстоянию до туманностей. Красное смещение можно удовлетворительно интерпретировать лишь как сдвиг Доплера, обусловленный движением туманностей в смысле расширения Вселенной целого.

Узнав об этой новой возможности, Эйнштейн [412] полностью отказался от космологического члена, считая его излишним и более но оправданным. Я целиком присоединяюсь к точке зрения Эйнштейна.

Фридман выбрал следующую форму для метрики:

где — не зависящий от времени трехмерный элемент длины, соответствующий пространству с постоянной кривизной , которую можно нормировать так, чтобы она была равна или —1; тогда при единицей измерения будет радиус кривизны Масштаб времени определяется выбором в уравнении (1); координаты являются постоянными для вещества, движущегося вместе с расширяющимся пространством. Пространственную часть можно взять в виде

Для свернутого тензора кривизны относящегося к мы получаем (согласно (117), поскольку Из уравнения для геодезических линий следует, что для материальной частицы

    (3)

где импульс частицы.

Если ввести длину волны де Бройля то соотношение (3) можно записать в виде

Последнее соотношение справедливо также для света (фотонов). Если масштаб времени определен линейным элементом, квадрат которого имеет вид (1) с то скорость света постоянна, и частота света в этом масштабе времени удовлетворяет соотношению

На это обстоятельство указал Лауэ [413], который не пользовался какими-либо квантовыми понятиями, а лишь отметил, что в силу конформной инвариантности уравнений Максвелла частота v, соответствующая линейному элементу не должна зависеть от времени.

Пусть ( — плотность массы, — соответствующая плотность энергии, — давление, причем зависят от времени, но одинаковы во всех точках пространства. Тогда для компонент тензора энергии-импульса получаем

Следовательно,

Вычисление компонент тензора приводит к следующим результатам (точка означает дифференцирование по ):

Уравнения поля без космологического -члена в виде (401а)

позволяют получить

или

    (8)

Закон сохранения энергии-импульса (равенство нулю ковариантной дивергенции ) при (остальные три уравпония выполняются тождественно) дает соотношение

что также следует непосредственно или (8). Уравнение (9) можно, кроме того, записать в виде

что выражает постоянство энтропии для некоторого объема вещества.

Если в «объеме содержатся только частицы с массой, то

если только фотоны, то

Практически представляет иптерес, по-видимому, только случай что мы и будем предполагать в дальнейшем. Подстановка в первое из соотношений (8) приводит к

или

Последнее соотношение нетрудно проинтегрировать. Например, при кривизне, равной нулю, получаем

Отсюда следует, что постоянная Хаббла равна

или

В этом решении момент времени отвечает точке где исходные предположения модели уже не верны. Теоретически невозможно продлить это решение в прошлое далее момента в котором состояние вещества характеризуется огромной плотностью, и в этом смысле время можно интерпретировать как возраст Вселенной.

Остальные случаи читатель найдет в цитируемых на с. 287 монографиях и в [412]. Если величину по-прежнему определять равенством (12) и при то для «возраста Вселенной» можно найти следующие неравенства:

В последнем случае протяженность времени ограничена при данном также возможными значениями

Нижнюю границу для дает возраст земной коры, который составляет около лет. Одно время казалось, что существует некоторое расхождение между возрастом Вселенной и измеренным значением постоянной Хаббла; оценка для возраста Вселенной оказывалась слишком низкой в цитируемых выше работах Эйнштейна и Иордана. Недавно астрономы получили, однако, несколько меньшего значение постоянной Хаббла [414]:

Ныне, по-видимому, не существует сколько-нибудь серьезных расхождений между постоянной Хаббла, возрастом Вселенной и уравнениями общей теории относительности без космологического члена

Примечание 20. Здесь ошибочно опущен инвариант

Эта величина является псевдоскаляром, т. е. меняет свой знак при обращении пространственных координат Поскольку встречающиеся в природе физические лагранжианы инвариантны относительно пространственных отражений, они могут содержать только квадрат указанного инварианта. Как было показано Гейзенбергом и Эйлером [415], при применении квантовой теории позитронов к вычислению поляризации вакуума во внешних однородных электрическом и магнитном полях такие члены действительно возникают. Они также играют роль в нелинейной электродинамике Бориа — Инфельда [416, 417]. Остальные инварианты, указанные в п. 2—4, не возникают, поскольку они нарушают калибровочную инвариантность.

Примечание 21. После того как было показано, что свойства положительно и отрицательно заряженных частиц симметричны, был экспериментально открыт отрицательно заряженный антипротон [418].

Таким образом, следует отбросить все рассуждения в тексте, которые основывались на «асимметрии двух сортов электричества».

Примечание 22. Теория Вейля. Хотя и раньше никогда не было экспериментальных указании на то, что масштабы длины (для измерительных линеек) и времени (для часов) зависят от их предыстории (см. § 65, п. 3), после установления квантовой механики очень изменилась и теоретическая ситуация. В квантовой механике комплексное волновое уравнение, описывающее движение электрически заряженного вещества (волновая функция может иметь одну или несколько компонент), допускает группу (h — постоянная Планка, деленная на — элементарный электрический заряд)

которая аналогична группе преобразований (477) теории Вейля, с той лишь разницей, что множитель перед является экспонентой от мнимой величины, преобразуется с помощью реальной экспоненты. Более того, связь закона сохранения электрического заряда с этой новой группой та же, что и со старой.

После открытия волновой механики Лондон [419] и сам Вейль [420] сразу же обратили внимание на этот факт. С тех пор название «калибровочная группа» прочно вошло в волновую механику для описания группы преобразований (1), указывая тем самым на тесную историческую связь с теорией Вейля, о ее неинтегрируемой длиной.

Теперь, однако, более нет причин верить в неинтегрируемость длины, и сам Вейль объявил об ошибочности своей старой теории. Сейчас, по-видимому, все согласны с тем, что измеримы сами а не их отношения, и что при градиентном преобразовании электромагнитных потенциалов они не меняются.

Примечание 23. Другие попытки построения единой теории поля. Прежде чем перейти к подробному описанию некоторых попыток «унификации» теорий поля, необходимо сделать ряд замечаний об области применимости классической физики в объяснении двойственности свойств вещества, характеризуемой интуитивными представлениями о «волне» и «частице» и описываемой статистическими законами, которые провозглашены квантовой (или волновой) механикой после 1927 г.. Большинство физиков, включая автора, придерживаются взглядов, высказанных Бором и Гейзенбергом при теоретико-познавательном анализе ситуации, создавшейся в связи с этими идеями, и потому считают невозможным полное решение открытых вопросов в физике на пути возврата к представлениям классической теории ноля.

С другой стороны, Эйнштейн после того, как он революционировал мышление физиков, создав общие методы, которые имеют фундаментальное зпачение также для квантовой механики и ее интерпретации, до конца своих дней сохранял надежду, что даже квантовые черты атомных явлений смогут быть в принципе объяснены с позиций классической физики полей. Несмотря на то, что принцип дополнительности Бора обобщил представление о физической реальности в атомной физике и привел к рассмотрению всех экспериментальных устройств как существенной части описываемого теоретически явления, Эйнштейн хотел остаться верным идеалу классической небесной механики, согласно которому объективное состояние системы совершенно не должно зависеть от способа наблюдения.

Эйнштейн честно признавал, что его надежды на полное решение проблемы на этом пути еще не осуществились и возможность создания такой теории им еще не доказана, он считал, что вопрос остался открытым. Поэтому, когда он говорит о «единой теории поля», он имеет в виду именно эту далеко идущую программу

построения теории, которая решает все проблемы, рассматривая элементарные частицы вещества с помощью всюду регулярных (лишенных особенностей) классических полей.

Физики, которые придерживаются интерпретации квантовой механики Бора — Гейзенберга, вкладывают в понятие унификации классических полей, подобных гравитационному и электромагнитному полям, лишь ограниченный смысл, пока не затрагиваются источники полей, например массы и электрические заряды. Для описания источников и их свойств вводятся волновые поля для вещества и их квантование с соответствующей статистической интерпретацией. Но даже эта программа, по-видимому, еще далека от реализации.

Читатель этой книги увидит в § 67, что уже в то время я с большим сомнением относился К возможности объяснения атомизма вещества и особенно электрического заряда с помощью только представлений о непрерывных полях. В этой связи следует напомнить, что атомизм электрического заряда нашел выражение уже в определенном числовом значении постоянной тонкой структуры, теоретического объяснения которого пока не существует. В частности, я почти не сомневался в фундаментальном характере двойственности (или, как говорят после 1927 г., дополнительности) между измеряемым полем и пробным телом, которое служит как измерительный прибор. Этот вопрос был впоследствии поднят Н. Бором на восьмом Сольвеевском конгрессе в 1948 г.

Сделав эти общие вводные замечания, мы переходим к обсуждению двух попыток создать единую теорию поля, которые обобщают формально теорию относительности Эйнштейна в различных направлениях.

а. Теории с несимметричными и существует два варианта таких теорий. В более ранних работах симметричные

или несимметричные символы фигурировали как единственные исходные величины теории. В последующих работах и несимметричные или и несимметричные рассматривались как независимые переменные. В первом случае метрический тензор предполагается пропорциональным симметричной части свернутого тензора кривизны.

Это предположение оправдано лишь в том случае, если в уравнение поля входит космологический член. Поскольку его существование более не оправдано, остаются теории второго типа, в которых несимметричные рассматриваются как независимые переменные. В соответствии с этим Эйнштейн впоследствии рассматривал только теорию второго типа.

Все эти теории сталкиваются с одним возражением — они находятся в противоречии с принципом, гласящим, что в теорию поля должны входить лишь неприводимые величины. Этот принцип удовлетворителен с формальной точки зрения, и отступлений от него в физике никогда не встречалось. Поэтому я думаю, что должны быть приведены убедительные математические причины (например, постулат инвариантности относительно более широкой группы преобразований), объясняющие, почему не происходит разложения приводимых величин, использованных в теории (например, опубликованной литературе этого до сих пор сделано не было.

Однако Эйнштейну это возражение было хорошо известно, и он тщательно рассмотрел его в одной из последних своих работ (см. [436]). Прежде чем излагать точку зрения и результаты Эйнштейна и Кауфмана, мы приведем выражение для свернутого тензора кривизны через несимметричные символы

где теперь порядок пижяих индексов имеет существенное значение. Авторы затем указывают, что это выражение инвариантно до отношению к -преобразованиям

где - произвольная функция. Они вводят постулат, что все уравнения должны быть инвариантны относительно этого -преобразования (-инвариантность). Формально этот постулат делает использование симметричных символов Г невозможным.

В качестве второго постулата Эйнштейн и Кауфман вводят транспозиционную инвариантность. Это означает, что все уравнения остаются в силе, если все величины заменять транспонированными Тензор определенный через , не удовлетворяет этому требованию. К требуемой инвариантности, однако, можно прийти, если ввести новые величины, определенные следующим образом;

Свернутый тензор кривизны выражается через при помощи соотношения

и является теперь транспозиционно-инвариантным. Для преобразование записывается в виде

Закон преобразования при координатных преобразованиях приведен в работе [437]. Уравнения поля получаются путем вариации интеграла действия по и по как по независимым переменным.

Вместо можно использовать также тензорную плотность с компонентами которые в четырехмерном пространственно-временном континууме определены соотношениями

В соответствии с духом обычной общей теории относительности выбор скалярной плотности в интеграле действия ограничен требованиями, чтобы не содержало производных от а содержало только первые производные от и зависело линейно от последних. Эти требования вместе с требованиями Я-инвариант-ности и транспозиционной инвариантности, упомянутыми выше, приводят к выражению для , линейному по выраженному через Если космологический член, не зависящий от опущен, то при должном выборе поля мы приходим к выражению Эйнштейна для скалярной плотности в подынтегральном выражении интеграла действия

удовлетворяющему всем перечисленным постулатам (величины определены соотношениями (6)).

Вывод уравнений поля и тождественных соотношений менаду ними можно найти в цитированной выше литературе. В частном случае, когда антисимметричные части и Г- обращаются в нуль, мы приходим снова к обычным уравнениям поля общей теории относительности в отсутствие вещества.

Довольно сомнительно, что уравнения поля этой теории, основанные на формальных постулатах .-инвариантности в транспозитивной инвариантности, лишенных непосредственного физического или геометрического смысла, имеют вообще какое бы то ни было отношение к физике.

В этой «единой теории поля» полностью отсутствует какой-либо ведущий физический принцип, подобный принципу эквивалентности в общей теории относительности, который был бы основан на данных опыта. Более того, в обычной общей теории относительности непосредственный физический смысл имеет элемент длины и вместе с ним квадратичная форма а не псевдотензор , который управляет параллельным смещением векторов.

Далее мы рассмотрим другие попытки создания «единой теории поля», в которых используются лишь неприводимые величины.

b. Пяти мерные и проективные теории. Калуца [437] нашел интересное геометрическое представление в ковариантном виде уравнений электродинамики Максвелла, которое впоследствии было улучшено и обобщено Клейном.

Рассматривается пространство с цилиндрической метрикой

    (8)

(в дальнейшем греческие индексы пробегают значения от 1 до 5, а латинские индексы — от 1 до 4). Условие цилиндричности лучше всего записать в специально выбранной системе координат, в которой не зависят от

Кроме того, Калуца и Клейн предполагали, что

Положительный знак означает, что пятое измерение метрически пространственноподобно. Причина такого выбора будет ясна позже. Помимо координатных преобразований общей теории относительности, для координат в избранных системах координат допустима группа преобразований

Если записать выражение (8) в виде

    (12)

то нетрудно убедиться, что инвариантны относительно

преобразований (II)

тогда как

Сравнение (8) в (12) позволяет получить

Если как обычно, - обратная матрица к — обратная матрица к то легко получить

Вид преобразований (14), аналогичных градиентным преобразованиям, наводит на мысль об отождествлении с электромагнитным потенциалом с точностью до некоторого множителя. Антисимметричный тензор

инвариантный относительно «градиептпых преобразований» (М), пропорционален тогда напряженностям электромагнитного поля. К определению коэффициента пропорциональности мы вернемся позже.

Геодезические линии метрики также можно интерпретировать физически при таком подходе. Из независимости от непосредственно следует, что при надлежащем выборе параметра s на геодезических линиях постоянны два выражения

и

Постоянную в уравнении (18а) можно нормировать Уравнения геодезических линий имеют вид

Но это соотношение представляет собой уравнение для траектории варяжеавой частицы во внешних гравитационном и электромагнитном полях. Поэтому постоянная итерирования С пропорциональна отношению заряда и массы частицы.

Мы упомянем здесь кратко другой путь геометризации гравитационного в электромагнитного нолей, а именно — проективную формулировку. Многие авторы внесли здесь свод вклад, и среди

них Веблен и Гоффман, Шутен и ван Данциг и я. Бергман показал, однако (в противоположность тому, что думал раньше сам), что эта теория не является более общей, чем теория Калуцы, и что нетрудно перейти от одной из этих формулировок к другой. Введем однородные координаты при помощи соотношения

(с произвольными функциями ); обратные соотношения имеют вид

где — однородная функция первой степени. Нетрудно убедиться в том, что «градиентные преобразования» (11) в комбинации с общими преобразованиями координат в точности соответствуют группе всех однородных преобразований первой степени координат X. Именно последние преобразования рассматриваются в проективной формулировке теории. Вниду взаимно однозначного соответствия между двумя формами теории мы не будем дальше рассматривать проективную форму.

Геометрическая форма общековприантных законов электромагнитного поля, принадлежащая Калуце и изложенная выше, ни в коей мере не представляет собой в унификации» гравитационного и электромагнитного полей. Наоборот, любая общековариантная и градиентно инвариантная теория может быть представлена в форме Калуцы. При отсутствии электрических зарядов (токов) уравнение Максвелла в общековариантной форме можно получить, варьируя интеграл действия с плотностью

где — напряженности электромагнитного поля. Однако и более сложная зависимость скалярной плотности в интеграле действия от напряженностей могла бы с тем же успехом быть согласована с цилиндрически-симметричной пятимерной метрикой.

Калуца и Клейн, однако, получили еще один интересный результат. Они вычислила скаляр Р, образованный от тензора кривизны, который соответствует выбору пятимерной метрики в виде (8) или (12), и нашли

    (22)

где R — тензор кривизны, определенный для четырехмерной метрики определены соотношениями (17). Это выражение тождественно совпадает с (21), если положить

Следует отметить здесь, что знак второго члена в правой части уравнения (22) изменился бы, если бы мы выбрали пятую координату времениподобной а не пространственноподобный. Пятое измерение должно быть выбрано пространственноподобным, чтобы в (22) знак правой части был тот же, что и в (21). Можно сказать также, что при выборе Р в качестве инварианта в интеграле действия эмпирический знак гравитационной постоянной представлен пространственноподобным знаком 55-

Однако не существует причин с точки зрения ограниченной группы цилиндрической метрики, чтобы в качестве подынтегрального выражения в интеграле действия выбрать именно пятимерную скалярную кривизну Р. Нерешенная проблема отыскания таких причин заставляет, по-видимому, думать о расширении группы, преобразований. Это связано с возможностями обобщения формализма Калуцы, которое мы сейчас кратко рассмотрим.

Одно из обобщений формализма Калуцы заключается в отказе от условия при сохранении условия (9). С точки зрения группы преобразований общей теории относительности представляет собой теперь новое скалярное поде, которое по-прежнему предполагается не зависящим от Полагая

получаем

    (25)

с «градиентной» группой

Иордан [440], первоначально сформулировавший свою теорию в проективной форме, воспользовался давними идеями Дирака [441] и сделал интересную попытку использовать это новое поле для построения теории, в которой гравитационная постоянная обычной теории заменяется зависящим от времени полем. С математической точки зрения эта идея была независимо исследована Тири [442] (см. также [443]). Как показал Фирц [444], введение вещества приводит в этой теории к дополнительным предположениям, без которых временная зависимость стандартных длин, полученных из атомных размеров и по гравитационному взаимодействию между частицами с массой, не равной нулю, еще не определена. Мы не будем здесь касаться вопроса об экспериментальных свидетельствах в пользу этой теории.

Другое, более фундаментальное обобщение теории Калуцы заключается в отказе от условия цилиндричности (9). Уже в первых своих работах 1926 г. Клейн рассмотрел периодическую зависимость всех переменных поля от Если выбрать в качестве периода то это предположение I («все компоненты являются

периодическими функциями с периодом можно также выразить с помощью разложения Фурье

при обычном условии действительности:

Геометрически можно интерпретировать как угловую переменную, так что все значения различающиеся на целое кратное соответствуют одной и той же точке пятимерного пространства, если значения х одни и те же. Из одного этого предположения еще не следует существование замкнутых геодезических линий без разрывов в их направлении. Эйнштейн и Бергман [445] (см. также [446] и цитируемую выше монографию Бергмана) исследовали, в частности, следствия дополнительного предположения И: через каждую точку пятимерных пространств проходит только одна геодезическая линия, которая возвращается в эту же точку, непрерывно меняя направление. Они показали, что в этом случае всегда существует избранная система координат, где

Группа преобразований остается той же, что и в первоначальной теории Калуцы (см. (15) и (16)), но могут теперь зависеть периодически от

Авторы затем строят наиболее общий инвариант относительно рассматриваемой группы преобразований, отвечающий тем же общим требованиям к порядку дифференцирования, что и в обычной теории относительности (а именно, линейности по вторым производным ноля и отсутствию высших производных). Соответствующие уравнения поля являются, вообще говоря, интегро-дифференциальными.

При всех этих предположениях не удается прийти к интерпретации или оправданию выбора Р в качестве скаляра в принципе наименьшего действия, однако ситуация существенно меняется, если отбросить предположение II, сохранив предположение I. Группа преобразований тогда будет иметь вид

где — произвольные периодические функции с периодом Эта общая группа ташке рассматривалась Клейном, но ее математические и физические следствия нуждаются в дальнейшем изучении.

Справедливо, что единственным скаляром, который можно составить из V, при помощи только обычного процесса дифференцирования (с ограничениями на порядок дифференцирования, налагаемыми обыкновенно в общей теории относительности), является теперь скаляр Р, отвечающий пятимерной метрике. Однако все еще остается нерешенным вопрос о том, существуют ли какие-нибудь другие нелокальные инварианты, которые можно было бы

выразить как интегралы по должным образом выбранным замкнутым кривым и использовать в принципе наименьшего действия.

Помимо математических трудностей, остается еще проблема физической интерпретации общих функций, периодически зависящих от заданных соотношениями (27). Эта проблема ведет к волновой механике и поэтому также к проблеме квантования поля. Тензоры, подобные соответствуют спину, равному 2, который, кстати, никогда не встречался в природе и из которого никаким сложением нельзя получить спин, равный 1/2.

С нашей точки зрения (см. вводную часть к этому примечанию), ясно, что, помимо поля должны существовать другие поля квантовомеханического типа такие, например, как спинорные поля, описывающие частицы с малой массой [438].

Таким образом, вопрос о том, имеет ли формализм Калуцы какое-либо будущее в физике, ведет к более общей главной нерешенной проблеме синтеза общей теории относительности и квантовой механики.