§ 22. Геометрия реального мира

До сих пор мы молчаливо предполагали, что форма — определенная форма. В действительном пространственно-временном мире это не имеет места, так как в нормальной форме имеет три члена положительных и один отрицательный. Формально все до сих пор выведенные результаты можно перенести и на этот случай, так как введение мнимой координаты позволяет свести один случай к другому (см. § 7). Геометрически, однако, формулы будут истолковываться несколько иначе.

Если оставаться сначала в области применимости специальной теории относительности и ввести в качестве четвертой координаты то при заданном начале координат можно разделить мир инвариантным, относительно лоренцевых преобразований, способом на две части, характеризующиеся условиями

Они разделяются поверхностью конуса

по которой проходят мировые линии световых лучей.

Если начало некоторого вектора совпадает с началом координат О, то он называется пространственным вектором, если конец его лежит в области (В), временным вектором, если он лежит в области (А), и нулевым вектором, если он лежит на конусе (С). Преобразование Лоренца благодаря измененному знаку четвертой переменной представляет собой не вращение координатной системы, а переход от одной системы сопряженных диаметров гиперболоида

к другой. (Эта интерпретация преобразования Лоренца, а также понятия, применяемые в дальнейшем, встречаются впервые у Минковского.) Простым геометрическим рассуждением или простым применением формулы (I) можно показать, что при помощи подходящего выбора координат можно добиться для точки области (А) пространственного, а для точки области (В) временного совпадения (одновременности) с началом координат,

т. е. что всегда можно при помощи соответствующего выбора координат сделать временную компоненту пространственного вектора и все пространственные компоненты временного вектора равными нулю. Кроме того, на основании результатов § 6, только точки области (А) могут быть причинно-связанными с началом координат. Рассмотренная геометрия, определяемая линейным элементом

может быть названа по Клейну и Гильберту псевдоевклидовой.

Вполне аналогичные различия между геометриями положительно определенной и неопределенной форм линейного элемента имеют место в общей геометрии Римана. Построим все выходящие из точки геодезические линии, которые удовлетворяют в условиям

или

или

( — параметр кривой). Эти линии непрерывно заполняют области пространства-времени или (С) поверхность светового конуса. Соответствующие направления (векторы) в точке называются, как а выше, временными, пространственными и нулевыми направлениями (нулевые векторы).

Это разделение пространственно-временного мира имеет своим следствием, как это подчеркнул Гильберт [108], ограничение допустимых преобразований координат. Именно, в допустимых координатных системах три первые координатные оси должны быть всегда пространственно-, а четвертая — всегда времениподобной. Это выполняется, если, во-первых, квадратичная форма, получающаяся из при является положительно определенной формой, для чего требуется соблюдение

условий

и если, во-вторых,

Эти неравенства не могут быть нарушены допустимым преобразованием координат. Так как детерминант g, составленный из вследствие этих неравенств всегда отрицателен, нужно в тензорных формулах, выведенных для случая определенной формы, всюду заменить на

По (А) длина дуги мировой линии может быть и мнимой; это всегда будет, например, в случае мировой линии материального тела. Удобно поэтому вместо длины дуги s в этом случае ввести собственное время , определенное равенством

Оно определяет время, указываемое часами, которые движутся по этой мировой линии. Поэтому для координатной системы, в которой в данный момент времени часы покоятся, Введем также вместо

вектор

для которого имеет место соотношение

Среди геодезических пиний нулевые геодезические линии, лежащие на конусе (С), играют исключительную роль. Хотя для них верен вариационный принцип (83) и дифференциальные уравнения (80), но вариационный принцип (81) не имеет места. В самом деле, во-первых, координаты не могут быть выражены здесь в виде функций длины дуги вследствие равенства ее нулю, а следовательно, и в (80) также должна фигурировать не длина дуги, а какой-нибудь другой параметр кривой, определенный с точностью до постоянного множителя. Во-вторых, вследствие равенства нулю выражения которое появляется в знаменателе при выводе (83) из (81), этот вывод не может быть уже приведен. Следует нулевые геодезические линии определить так: нулевые геодезические линии отличаются от других линий, лежащих на конусе (С), тем, что для них существует параметр X, для которого удовлетворяются уравнения

а следовательно, и вариационный принцип (83). Для ненулевых геодезических линий остаются верными все формулы § 15.

Результаты Фермейля, касающиеся зависимости объема шара в римановом пространстве от инварианта кривизны (§ 17), нельзя непосредственно применить в случае неопределенного линейного элемента, так как шару здесь соответствует бесконечно протяженный гиперболоид.

В заключение можно упомянуть, что обычно в специальной теории относительности нормальная форма линейного элемента определяется как форма с тремя положительными и одним отрицательным знаком, в то время как в общей теории относительности она определяется как форма с тремя отрицательными знаками и одним положительным. Мы будем всегда использовать только первый способ обозначений,