§ 29. Пондеромоторная сила. Динамика электрона

Уже в своей первой работе Эйнштейн показал, что теория относительности позволяет сделать вполне определенные заключения о законах движения точечного заряда, движущегося в электромагнитном поле с произвольно большой скоростью, если эти законы известны для движения с бесконечно малой скоростью. Под точечным зарядом здесь понимается любой заряд, размеры которого так малы, что в области, занимаемой зарядом, внешнее поле может считаться однородным. «Точечный заряд» может, таким образом, не быть электроном. Если Е — напряженность внешнего электрического поля, а — заряд и масса нашего «точечного заряда» в системе К, относительно которой заряд в рассматриваемый момент покоится, то в этой системе

С помощью формул (194) и (207) можно сразу же установить закон движения в системе К, относительно которой заряд (и система К) движется со скоростью и в направлении положительных значений координаты При этом получаем

Прежде всего мы видим, что в правой части стоит как раз сила Лоренца (см. [132], § 3, уравнение (VI)). Если в старой теории эта сила вводилась в качестве новой аксиомы, здесь она получена как следствие принципа относительности. В связи с этим следует, правда, заметить, что в формулах (211), включающих члены второго и высшего порядков относительно содержится не физический закон, а определение силы. Действительно, вначале отнесение различных членов к правой или левой части уравнений (211) кажется произвольным. Можно, например, помножить обе части на или соответственно на и называть теперь компонентами силы выражения, стоящие в правой части уравнений. Первоначально Эйнштейн называл силой и в движущейся системе координат величину . В релятивистской механике было, однако, показано, что приведенное выше сформулированное Планком [135] определение силы, т. е. принятие для силы, действующей на произвольно движущийся заряд, лоренцева выражения

является наиболее целесообразным и единственно естественным; именно, оказывается, что только при таком определении силы она может рассматриваться как производная по времени от импульса, остающегося постоянным для замкнутой системы (см. § 37).

Из (212) и (204) вытекают формулы преобразования для силы:

если предположить, что в системе К материя, на которую действует сила, покоится в рассматриваемый момент времени.

В старой литературе, на основании (211), часто называли продольной, а поперечной массой. Целесообразнее, однако, записывать (211) в форме

причем теперь везде роль массы играет выражение

Это выражение для зависимости массы от скорости было впервые получено для массы электрона Лоренцом [13], исходившим из цредположения о том, что и электроны испытывают при движении лоренцево сокращение. Теория твердого электрона, принадлежащая Абрагаму, приводит к более сложной формуле для изменения массы. Вытекающее из теории относительности обоснование лоренцева закона изменения массы без всяких специальных предположений о форме электрона и распределении заряда в нем является ее несомненным успехом. О природе массы также не нужно делать никаких предположений; выражение (215) справедливо для любой массы; здесь это показано для электромагнитной силы, а в релятивистской механике обобщается для любых сил (см. § 37). Старая точка зрения, согласно которой путем опытов с отклонением катодных лучей можно отличить «постоянную истинную» массу от «кажущейся» электромагнитной (см. [130], § 65), поэтому не может быть сохранена.

Формула (215) для изменения массы или, правильнее, закон движения (211), открывает возможность проверить теорию относительности путем опытов с отклонением быстрых катодных или -лучей в электрическом и магнитном полях. Старые измерения Кауфмана [139] говорили

в пользу формулы Абрагама. Кауфман, однако, переоценил точность своих измерений. Опытами Бухерера, Гупка [143] и Ратновского [144], а затем, совершенно однозначно, опытами Неймана [145] (с дополнением Шефера [146] и Гюи и Лаванши [147]) была установлена справедливость релятивистской формулы. В настоящее время удается гораздо точнее определить зависимость массы электрона от скорости, если использовать для проверки предсказание теории относительности, касающееся тонкой структуры атома водорода. Соответствующий эксперимент полностью подтверждает формулу специальной теории относительности. До сих пор, однако, не удалось установить на эксперименте изменение массы для других, отличных от электрона, частиц, поскольку этот эффект мал даже для быстрых а-частиц (см. примеч. 9).

Уравнение (211) может быть представлено в четырехмерной инвариантной форме, если перейти от силы, действующей на весь заряд, к силе

на единицу объема (плотности силы). Это выражение наводит на мысль построить произведение бивектора и четырехмерного вектора тока

Получающийся вектор имеет компоненты

Сила на единицу объема (плотность силы) представляет собой три пространственные компоненты четырехмерпого вектора, временная компонента которого есть (деленная на с) работа в единицу времени, приходящаяся на единицу объема (плотность мощности). Это важное обстоятельство

было в значительной мере установлено еще Пуанкаре [14] и позже ясно сформулировано Минковским [64]. Из (201) и (216) следует, что четырехмерный вектор плотности электромагнитной силы перпендикулярен к вектору скорости

Теперь можно сформулировать в четырехмерной инвариантной форме закон движения (214); это можно сделать двумя способами. С одной стороны, можно ввести четырехмерный вектор с компонентами

То, что эти величины действительно образуют четырехмерный вектор, следует из формул преобразования (213) для силы. Выражение — называется силой Минковского, в отличие от ньютоновой силы К. Уравнения движения имеют в этом случае вид

С другой стороны, можно отнести уравнения -ния к единице объема. Если до — плотность массы покоя то

    (221)

Следует заметить, что физический смысл уравнений (221) не совсем ясен, если они применяются к электрону (см. гл. V, § 63), по крайней мере до тех пор, пока вектору придается значение (216). Уравнения (221) в этом случае справедливы, только если в правую их часть не включено собственное поле рассматриваемой частицы.

При уравнения (220) и (221) выражают закон сохранения энергии, являющийся следствием уравнений движения. В соответствии с этим как уравнения (220), так и уравнения (221) не зависимы друг от друга, так как путем скалярного умножения их на учитывая (192) и (218), получаем тождество Об обобщении определения вектора силы и уравнений движения см. § 37.