§ 11. Бивекторы и тривекторы. Четырехмерные объемы

Поверхность — это следующий по числу измерений после линии геометрический объект. И аналогично тому, как связаны векторы и линии, имеются связанные с поверхностью тензоры второго ранга, которые называют бивекторами. К этому понятию мы можем прийти следующим путем. Два вектора х и у определяют двумерный параллелепипед. Параллельные осям его проекции на шесть двумерных координатных плоскостей задаются выражениями

если за единицу площадей брать площади параллелепипедов, образованных соответствующими базисными векторами Они образуют контравариантные компоненты тензора второго ранга, антисимметричного в силу соотношений

Если в указанных операциях заменить базисные векторы взаимными то можно получить ковариантные компоненты

Будем называть бивектором любой антисимметричный тензор второго ранга, т. е. тензор второго ранга, компоненты которого удовлетворяют соотношениям (45). Хотя не каждый такой тензор может быть представлен в форме (44) — для этого должны удовлетворять соотношению

но всегда возможно представить его в виде суммы двух бивекторов вида (44). Если два бивектора специального типа (44), то инвариант

представляет собой квадрат площади параллелограмма, а инвариант

представляет собой произведение плошади и ортогональной проекции параллелепипеда на двумерное направление Аналогичные инварианты для произвольных бивекторов суть суммы подобных произведений. О значении в теории инвариантов левой части (46), если — произвольный бивектор, см. § 12.

Тривектор может быть представлен трехмерным параллелепипедом, построенным на трех векторах .

Его компонентами являются детерминанты:

Тензор (49), очевидно, антисимметричен, так как при перестановке любых двух индексов меняется знак компоненты. Число независимых компонент есть 4. В отличие от бивектора тензор (49) является наиболее общим тривектором, т. е. любой тензор третьего ранга, компоненты которого удовлетворяют указанным выше условиям, может быть представлен в форме (49).

Четыре вектора определяют некоторый четырехмерный параллелепипед. В декартовой системе координат его объем равен детерминанту, составленному из 4X4 компонент векторов На основании (34) и (36) этот объем выражается через компоненты в косоугольной системе следующим образом:

Выражение (50) находится применением правила умножения детерминантов; означают при этом детерминанты, составленные из компонент векторов (соответственно ) в декартовой системе координат. Их можно определить, возведя в квадрат и снова применив правило умножения детерминантов, учитывая при этом (37), (41) и (26а):

Таким образом, инвариантный объем равен

Так как четырехкратный интеграл

который для краткости мы будем записывать в виде при переходе к новой системе координат преобразуется как объем какой-либо произвольной области

равен, по (51),

Если интеграл

инвариантен, то по Вейлю [74] называется скалярной плотностью. Она образуется умножением обычного скаляра на

Аналогично этому векторная плотность с компонентами определяется условием, что интегралы (по бесконечно малой области) образуют компоненту вектора. В подобном же смысле мы говорим а о тензорной плотности. Она также получается умножением обычного тензора на

Введенная в § 9 систематика тензоров не принимает во внимание симметрии компонент тензоров. Мы, однако, видели, что, например, антисимметричный и симметричный тензоры второго ранга в геометрическом отношении совершенно различны. В тензорном анализе это различие обнаружится в новом аспекте (см. §§ 19 и 20). Рекомендуется поэтому по примеру Вейля [75] и в согласии с терминологией грассмановского учения о протяженности ввести наравне с ранее примененной и новую систематику тензоров. Образуем, как в (44) и (49), ряды величин Тензоры первого порядка (линейные тензоры) первого, второго, третьего... рангов возникают из линейных, квадратичных, кубичных.. форм одного смещения

Точно так же тензоры второго порядка (бивекторы) возникают из форм

Чтобы коэффициенты однозначно определялись формой, они должны удовлетворять известным условиям нормировки; должны, например, при перестановке двух любых индексов оставаться неизменными, должны быть антисимметричны, компоненты бивектора

второго ранга (см. примеч. 5) должны удовлетворять соотношениям

[последнее следует из соотношений Таким бивектором второго ранга является тензор кривизны (см. § 16). Число независимых компонент этого тензора в пространстве измерений понижается на основании (53а) и (53b) до Изложенная здесь систематика не охватывает всех величин, которые по сформулированному в § 9 определению являются тензорами. Но в физических приложениях играют роль только такие тензоры, которые включены в эту систематику.