§ 31. Инвариантный принцип действия в электродинамике
После того как Пуанкаре ([14], R. Р.) убедился в инвариантности интеграла действия Шварцшильда [152] (см. также [132], § 9) относительно группы Лоренца (см. примеч. 10), Борн [153] применил четырехмерную векторную форму записи принципа действия, в результате чего последний приобрел очень наглядный вид.
Шварцшильд сначала образует интегрированием по пространству функцию Лагранжа
после чего получает функцию действия интегрированием по времени. Естественно объединить интегрирование по пространству и по времени введением четырехкратного интеграла ([14], R. Р.). Обозначая через L инвариант
можно записать удвоенную функцию действия в виде
Рассматриваемый принцип действия состоит в том, что при известных условиях вариация от IV равна нулю:
Эти условия таковы:
1. Интеграл W берется по определенной области четырехмерного мира; независимыми переменными являются компоненты 
четырехмерного потенциала, имеющие заданные значения на границах области интегрирования; четырехмерный ток 
т. е. мировые линии электрических зарядов и их величина, не варьируются. Согласно § 23 (см. (174) и (175)) при этом
и из (232) следует вторая система уравнений Максвелла (208). Первая система имеет место уже вследствие введения векторного потенциала, и, таким образом, ее существование предполагалось заранее.
2. Поле 
есть определенная функция координат четырехмерного мира и не варьируется; напротив, мировые линии материи должны варьироваться. Поэтому интеграл от L не вносит ничего в значение вариации; второй интеграл нужно сперва преобразовать. Если 
есть элемент заряда, относящийся к определенному элементу материи, и 
— собственное время соответствующей мировой линии, отсчитываемой от какой-либо начальной точки, то, учитывая (201), можно написать
Интегрирование ведется по мировому цилиндру, который получается, если на каждой мировой линии материи отложить одинаковую длину. Начальные и конечные точки мировых линий варьироваться не должны. Интегрируя по частям, получаем
или
Борн налагает на вариации мировых линий материи дополнительное условие
Согласно § 15, для мировой линии с направлением, везде времениподобным, как это и имеет место, при фиксированных концах и постоянных 
Поэтому из (232) на этот раз получаем
где 
— постоянный мпояштель Лагранжа. Это соотношение совпадает с (221), если считать 
плотностью массы покоя. Как и в § 29, мы здесь отвлеклись от собственного поля рассматриваемой частицы.
Вейль [154] в отличие от Борна не накладывает дополнительные условия (235), но добавляет к функции действия член
и получает
Вследствие (234) и (236) отсюда также следует уравнение (221).
